جملة معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين: طرق الحل – الرياضيات — السنة الأولى ثانوي (جذع مشترك علوم وتكنولوجيا) — المنهاج الجزائري

جملة معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين: طرق الحل – الرياضيات

جملة المعادلات الخطية بمجهولين تستخدم في حل مسائل متنوعة في الرياضيات والفيزياء والاقتصاد.

1. الصيغة العامة

جملة معادلتين خطيتين بمجهولين x و y تكتب: {a₁x + b₁y = c₁ ; a₂x + b₂y = c₂}. حل الجملة هو زوج مرتب (x, y) يحقق المعادلتين معاً.

2. طريقة التعويض

نعبر عن أحد المجهولين بدلالة الآخر من إحدى المعادلتين، ثم نعوض في المعادلة الأخرى.

مثال: {x + y = 5 ; 2x – y = 1}. من الأولى: y = 5 – x. بالتعويض في الثانية: 2x – (5 – x) = 1 → 2x – 5 + x = 1 → 3x = 6 → x = 2. y = 5 – 2 = 3. الحل: (2, 3).

3. طريقة الجمع

نجمع المعادلتين بعد ضرب كل منهما في عدد مناسب لحذف أحد المجهولين.

مثال: {3x + 2y = 12 ; x – 2y = 4}. بالجمع: 4x = 16 → x = 4. بالتعويض: 4 – 2y = 4 → y = 0.

4. طريقة المحددات (كرامر)

Δ = a₁b₂ – a₂b₁. إذا كان Δ ≠ 0، فإن x = Δ_x/Δ و y = Δ_y/Δ.

5. تمارين تطبيقية

التمرين 1: حل الجملة {2x + y = 7 ; x – y = 2} بطريقة التعويض.

التمرين 2: حل الجملة {3x + 2y = 13 ; x – y = 1} بطريقة الجمع.

6. الحلول

حل 1: y = 7 – 2x. x – (7 – 2x) = 2 → 3x – 7 = 2 → 3x = 9 → x = 3, y = 1.

حل 2: نضرب الثانية في 2: 2x – 2y = 2. بالجمع مع الأولى: 5x = 15 → x = 3. y = 3 – 1 = 2.

راجع أيضاً التناسبية والدوال الخطية ودرس الدوال المرجعية: دالة المربع والمقلوب.