الأعداد العقدية: الشكل المثلثي وصيغة موافر – الرياضيات — السنة الثالثة ثانوي (شعبة علوم تجريبية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

الأعداد العقدية (المركبة): الشكل المثلثي وصيغة موافر – الرياضيات

الأعداد العقدية يمكن تمثيلها بشكل مثلثي يبسط عمليات الضرب والقسمة وحساب القوى والجذور.

1. الشكل المثلثي للعدد العقدي

العدد العقدي z = a + bi يكتب على الشكل المثلثي: z = r(cosθ + i sinθ) حيث r = |z| = √(a² + b²) و θ = arg(z) بحيث cosθ = a/r و sinθ = b/r.

2. صيغة موافر (De Moivre)

(cosθ + i sinθ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ)

هذه الصيغة تسهل حساب قوى الأعداد العقدية. مثال: (1+i)³. |1+i| = √2, arg = π/4. (1+i)³ = (√2)³(cos(3π/4) + i sin(3π/4)) = 2√2(-√2/2 + i√2/2) = -2 + 2i.

3. الجذور العقدية للوحدة

الجذور النونية للوحدة هي حلول المعادلة zⁿ = 1. تكتب: z_k = e^2πik/n = cos(2πk/n) + i sin(2πk/n) حيث k = 0, 1, …, n-1.

4. تطبيقات

تستخدم الأعداد العقدية في الكهرباء (تمثيل التيار المتناوب)، وفيزياء الكم، وتحليل الإشارات.

5. تمارين تطبيقية

التمرين 1: اكتب العدد z = 1 + i على الشكل المثلثي.

التمرين 2: احسب (1 + i√3)&sup4; باستخدام صيغة موافر.

التمرين 3: أوجد الجذور التكعيبية للوحدة.

6. الحلول

حل 1: r = √(1+1) = √2, θ = π/4. z = √2(cos(π/4) + i sin(π/4)).

حل 2: r = √(1+3) = 2, θ = π/3. z&sup4; = 2&sup4;(cos(4π/3)+i sin(4π/3)) = 16(-1/2 – i√3/2) = -8 – 8i√3.

حل 3: z_k = cos(2πk/3) + i sin(2πk/3). z₀ = 1, z₁ = -1/2 + i√3/2, z₂ = -1/2 – i√3/2.

راجع أيضاً التناسبية والدوال الخطية ودرس الدوال المرجعية: دالة المربع والمقلوب.