الاشتقاق: قواعد الاشتقاق وتطبيقاته في دراسة الدوال – الرياضيات — السنة الثانية ثانوي (شعبة علوم تجريبية) — المنهاج الجزائري

الاشتقاق: قواعد الاشتقاق وتطبيقاته في دراسة الدوال

الاشتقاق من أهم أدوات التحليل الرياضي. يسمح بحساب معدل التغير اللحظي ودراسة اتجاه تغير الدوال. هذا الدرس مخصص لتلاميذ السنة الثانية ثانوي شعبة علوم تجريبية.

1. تعريف المشتقة

نقول أن الدالة f قابلة للاشتقاق عند نقطة a إذا كانت النهاية lim_x→a (f(x) – f(a))/(x – a) موجودة ومنتهية. هذه النهاية تسمى مشتقة f عند a ويرمز لها f′(a).

2. قواعد الاشتقاق الأساسية

إذا كانت f و g دالتين قابلتين للاشتقاق و k عدد حقيقي فإن:

• (k)′ = 0
• (xⁿ)′ = n x^n-1 حيث n عدد طبيعي
• (k f)′ = k f′
• (f + g)′ = f′ + g′
• (f × g)′ = f′g + f g′
• (f/g)′ = (f′g – f g′)/g² حيث g(x) ≠ 0

3. تطبيقات الاشتقاق في دراسة الدوال

لدراسة دالة f على مجال I نتبع الخطوات التالية:

• نحسب المشتقة f′(x)
• ندرس إشارة f′(x)
• إذا كانت f′(x) > 0 فإن f متزايدة على هذا المجال
• إذا كانت f′(x) < 0 فإن f متناقصة على هذا المجال
• عند تغير إشارة f′ نتحصل على نقطة انعطاف (قيمة حدية)

4. تمارين تطبيقية

التمرين 1: احسب مشتقة الدالة f(x) = 3x² + 2x – 5.

التمرين 2: احسب مشتقة الدالة g(x) = (2x + 1)(x² – 3).

التمرين 3: ادرس اتجاه تغير الدالة h(x) = x³ – 3x² + 1.

5. الحلول

حل 1: f′(x) = 6x + 2.

حل 2: g′(x) = 2(x² – 3) + (2x + 1)(2x) = 2x² – 6 + 4x² + 2x = 6x² + 2x – 6.

حل 3: h′(x) = 3x² – 6x = 3x(x – 2). إشارة h′(x): موجبة على ]-∞, 0[ و ]2, +∞[، سالبة على ]0, 2[. إذن h متزايدة على ]-∞, 0] و [2, +∞[، ومتناقصة على [0, 2].

يمكنك الاطلاع على درس الدوال المرجعية: دالة المربع والمقلوب ودرس التناسبية والدوال الخطية لمزيد من التمارين.