المتتاليات العددية: دراسة المتتاليات الحسابية والهندسية – الرياضيات — السنة الثانية ثانوي (شعبة علوم تجريبية) — المنهاج الجزائري

المتتاليات العددية: دراسة المتتاليات الحسابية والهندسية

المتتاليات العددية تمثل تسلسلاً من الأعداد تتبع نمطاً معيناً. هذا الدرس يتناول المتتاليات الحسابية والهندسية للسنة الثانية ثانوي شعبة علوم تجريبية.

1. تعريف المتتالية العددية

المتتالية العددية هي دالة معرفة على مجموعة الأعداد الطبيعية ℕ أو جزء منها. نرمز للمتتالية بـ (u_n) أو (a_n).

2. المتتالية الحسابية

متتالية عددية حيث الفرق بين حدين متتاليين ثابت: u_n+1 – u_n = r. العدد r يسمى أساس المتتالية.

الحد العام: u_n = u₀ + n × r

مثال: المتتالية 2, 5, 8, 11, 14, … هي متتالية حسابية أساسها r = 3 وحدها الأول u₀ = 2. u_n = 2 + 3n.

3. المتتالية الهندسية

متتالية عددية حيث النسبة بين حدين متتاليين ثابتة: u_n+1 / u_n = q. العدد q يسمى النسبة المشتركة.

الحد العام: u_n = u₀ × qⁿ

مثال: المتتالية 3, 6, 12, 24, 48, … هي متتالية هندسية نسبتها q = 2 وحدها الأول u₀ = 3. u_n = 3 × 2ⁿ.

4. مجموع حدود متتالية

مجموع متتالية حسابية: S_n = (عدد الحدود) × (الحد الأول + الحد الأخير)/2

مجموع متتالية هندسية: S_n = u₀ × (1 – qⁿ⁺¹)/(1 – q) حيث q ≠ 1

5. تمارين تطبيقية

التمرين 1: حدد طبيعة المتتالية 7, 11, 15, 19, 23 ثم احسب U₁₀.

التمرين 2: متتالية هندسية حدودها 2, 6, 18, 54. ما هي قاعدتها؟ احسب U₅.

التمرين 3: احسب مجموع أول 20 حداً من المتتالية الحسابية: u_n = 3n + 1.

6. الحلول

حل 1: الفرق ثابت = 4. متتالية حسابية، أساسها r = 4. u₁₀ = 7 + 10 × 4 = 47.

حل 2: النسبة q = 6/2 = 3. u₅ = 2 × 3⁵ = 2 × 243 = 486.

حل 3: u₀ = 1, u₁₉ = 58. S = 20 × (1 + 58)/2 = 20 × 59/2 = 590.

للمزيد من الدروس راجع التناسبية والدوال الخطية ودرس الدوال المرجعية: دالة المربع والمقلوب.