النهايات والاستمرارية: نهاية دالة عند نقطة وعند اللانهاية – الرياضيات — السنة الثانية ثانوي (شعبة علوم تجريبية) — المنهاج الجزائري

النهايات والاستمرارية: نهاية دالة عند نقطة وعند اللانهاية

تعتبر النهايات والاستمرارية من المفاهيم الأساسية في التحليل الرياضي. تسمح لنا النهايات بدراسة سلوك دالة عند الاقتراب من نقطة معينة أو عند اللانهاية.

1. مفهوم النهاية

نقول أن نهاية دالة f(x) هي L عندما تؤول x إلى a إذا أصبحت قيم f(x) قريبة جداً من L كلما كانت x قريبة من a. نكتب: lim_x→a f(x) = L.

مثال: lim_x→2 (3x + 1) = 7. لأن 3(2) + 1 = 7.

2. نهايات عند اللانهاية

عندما تؤول x إلى +∞ أو -∞، قد تقترب الدالة من قيمة محددة، أو تؤول إلى ∞.

مثال: lim_x→+∞ 1/x = 0. lim_x→+∞ x² = +∞.

3. الاستمرارية

دالة f متصلة عند نقطة a إذا تحقق: f(a) معرفة، و lim_x→a f(x) موجودة، و lim_x→a f(x) = f(a).

الدوال الحدودية والجذرية والأسية واللوغاريتمية هي دوال متصلة على مجالات تعريفها.

4. نظرية القيم المتوسطة

إذا كانت f متصلة على المجال [a, b] و f(a) × f(b) < 0 (أي أن للدالة إشارتين مختلفتين عند الطرفين) فإن المعادلة f(x) = 0 تقبل حلاً وحيداً في المجال ]a, b[.

5. تمارين تطبيقية

التمرين 1: احسب lim_x→3 (x² – 9)/(x – 3).

التمرين 2: احسب lim_x→+∞ (2x + 1)/(x – 2).

التمرين 3: بين أن المعادلة x³ + x – 1 = 0 تقبل حلاً وحيداً في المجال [0, 1].

6. الحلول

حل 1: lim_x→3 (x² – 9)/(x – 3) = lim_x→3 ((x-3)(x+3))/(x-3) = lim_x→3 (x+3) = 6.

حل 2: lim_x→+∞ (2x + 1)/(x – 2) = lim_x→+∞ (2 + 1/x)/(1 – 2/x) = 2/1 = 2.

حل 3: f(x) = x³ + x – 1. f(0) = -1, f(1) = 1. f متصلة على [0, 1] و f(0) × f(1) < 0، إذن حسب نظرية القيم المتوسطة يوجد حل وحيد.

راجع أيضاً درس الدوال المرجعية ودرس التناسبية والدوال الخطية.