الرياضيات — الدوال الأسية: خصائصها ونهاياتها ومشتقاتها — الثالثة ثانوي — بكالوريا — المنهاج الجزائري

الدوال الأسية: خصائصها وطريقة دراستها الكاملة

الدالة الأسية (Fonction exponentielle) هي دالة معرفة على R بقاعدة e (العدد النيبيري ≈ 2.71828). تكتب f(x) = e^x أو f(x) = exp(x). تعتبر من أهم الدوال في الرياضيات ولها تطبيقات واسعة في الفيزياء والكيمياء والاقتصاد.

1. تعريف الدالة الأسية الأساسية

الدالة f(x) = e^x هي الدالة الوحيدة التي تحقق:
• f'(x) = f(x) (مشتقتها تساوي نفسها).
• f(0) = 1.
وهي الدالة العكسية للدالة اللوغاريتمية الطبيعية ln(x).

2. خصائص الدالة الأسية

خصائص جبرية:
• e^(a+b) = e^a × e^b
• e^(a-b) = e^a / e^b
• e^(ka) = (e^a)^k
• e^0 = 1

خصائص تحليلية:
• f(x) > 0 لكل x ∈ R (الدالة موجبة تماماً).
• lim(x→-∞) e^x = 0 و lim(x→+∞) e^x = +∞.
• lim(x→-∞) x·e^x = 0 (نهايات مرجعية).
• الدالة تزايدية قطعاً على R.

3. مشتقة الدالة الأسية

إذا كانت f(x) = e^x فإن f'(x) = e^x.
إذا كانت f(x) = e^(u(x)) فإن f'(x) = u'(x) × e^(u(x)).
مثال: f(x) = e^(2x+1) → f'(x) = 2·e^(2x+1).

4. تمارين مقترحة

التمرين 1: احسب نهايات الدالة f(x) = (x+1)·e^x عند ±∞.
التمرين 2: ادرس تغيرات الدالة f(x) = x²·e^x.
التمرين 3: حل المعادلة e^(2x) – 3·e^x + 2 = 0.

للمزيد من المعلومات حول هذا الموضوع، يمكنكم الاطلاع على دروس مشابهة: قوانين نيوتن للحركة و الحلقات في بايثون.