الرياضيات — دراسة دالة كسرية: المنهجية الكاملة خطوة بخطوة — الثانية ثانوي — بكالوريا — المنهاج الجزائري

مقدمة في دراسة الدوال الكسرية

الدالة الكسرية هي دالة تكتب على شكل بسط مقسوم على مقام، حيث كل من البسط والمقام عبارة عن دوال حدودية. في هذا الدرس سنتعلم المنهجية الكاملة لدراسة دالة كسرية خطوة بخطوة.

1. تعريف الدالة الكسرية

الدالة الكسرية هي دالة من الشكل: f(x) = P(x) / Q(x) حيث P(x) و Q(x) دوال حدودية و Q(x) ≠ 0. المجال الطبيعي للدالة الكسرية هو R باستثناء القيم التي تنعدم عندها Q(x).

2. خطوات دراسة دالة كسرية

الخطوة 1: تحديد مجموعة التعريف D_f بحل المعادلة Q(x) = 0.
الخطوة 2: حساب النهايات عند حدود المجال (عند ±∞ وعند القيم التي تنعدم عندها Q(x)).
الخطوة 3: البحث عن المقاربات (المقاربات الأفقية والشاقولية والمائلة).
الخطوة 4: حساب المشتقة الأولى f'(x) ودراسة إشارتها.
الخطوة 5: تحديد اتجاه تغير الدالة وجدول التغيرات.
الخطوة 6: حساب المشتقة الثانية f”(x) ودراسة التقعر ونقط الانعطاف.
الخطوة 7: إنشاء جدول القيم ورسم التمثيل البياني (C_f).

3. مثال تطبيقي

لنقم بدراسة الدالة: f(x) = (x² + 1) / (x – 1)

المجال: D_f = R – {1} لأن المقام ينعدم عند x = 1.

النهايات:
lim(x→±∞) f(x) = ±∞ (لأن درجة البسط أكبر من درجة المقام بدرجة واحدة)
lim(x→1⁺) f(x) = +∞ و lim(x→1⁻) f(x) = -∞ (خط مقارب شاقولي)

المقاربات: يوجد خط مقارب شاقولي x = 1. نقوم بالقسمة الإقليدية: (x² + 1) ÷ (x – 1) = x + 1 + 2/(x-1). إذن المنحنى يقترب من الخط المائل y = x + 1 عندما يؤول x إلى ±∞.

المشتقة: f'(x) = (x² – 2x – 1) / (x – 1)². بإشارة المقام موجبة دائماً، فتكون إشارة f'(x) من إشارة البسط x² – 2x – 1. المميز Δ = 8، الجذران: x₁ = 1 – √2 و x₂ = 1 + √2.

4. تمارين مقترحة

التمرين 1: ادرس الدالة f(x) = (2x + 1) / (x – 3).
التمرين 2: ادرس الدالة f(x) = (x² – 3x + 2) / (x² + 1).
التمرين 3: ادرس الدالة f(x) = (x³ – 1) / (x² – 4).

للمزيد من المعلومات حول هذا الموضوع، يمكنكم الاطلاع على دروس مشابهة: قوانين نيوتن للحركة و البكتيريا والفطريات.