الرياضيات — النهايات والاستمرارية: قواعد الحساب والتطبيقات — الثانية ثانوي — بكالوريا — المنهاج الجزائري

النهايات والاستمرارية: قواعد الحساب والتطبيقات

النهايات والاستمرارية من المفاهيم الأساسية في التحليل الرياضي. النهاية تصف سلوك دالة عندما يقترب المتغير من قيمة معينة أو من ±∞. الاستمرارية تعني أن الدالة لا تنقطع عند نقطة معينة.

1. تعريف النهاية

نقول إن نهاية f(x) عندما يؤول x إلى a هي L (عدد حقيقي) إذا أمكن جعل f(x) قريباً من L بقدر ما نريد بجعل x قريباً بدرجة كافية من a. نكتب: lim(x→a) f(x) = L.

2. قواعد حساب النهايات

نهايات الدوال الحدودية: lim(x→a) P(x) = P(a).
نهايات الدوال الكسرية: lim(x→a) P(x)/Q(x) = P(a)/Q(a) إذا Q(a) ≠ 0.
حالات عدم التعيين: 0/0, ∞/∞, ∞-∞, 0×∞, 1^∞, 0^0, ∞^0.
طرق حل حالات عدم التعيين: التحليل والاختزال، الضرب في المرافق، قاعدة لوبيتال.

3. الاستمرارية

الدالة f متصلة عند نقطة a إذا تحقق:
1. f(a) معرفة.
2. lim(x→a) f(x) موجودة ومنتهية.
3. lim(x→a) f(x) = f(a).
الدوال الحدودية والأسية واللوغاريتمية والمثلثية متصلة على مجالات تعريفها.

4. تمارين مقترحة

التمرين 1: احسب lim(x→2) (x²-4)/(x-2).
التمرين 2: ادرس استمرارية الدالة f(x) = |x| عند x = 0.
التمرين 3: احسب lim(x→+∞) (√(x²+1) – x).

للمزيد من المعلومات حول هذا الموضوع، يمكنكم الاطلاع على دروس مشابهة: قوانين نيوتن للحركة و الحلقات في بايثون.