بنك الأسئلة التربوية (2) — بكالوريا الشعب العلمية — الرياضيات (80 سؤالاً)

بنك الأسئلة التربوية — الرياضيات — بكالوريا الشعب العلمية (تكملة)

الجزء الثاني: الأسئلة من 41 إلى 80

---

41. ما هي المصفوفة؟
    الجواب: المصفوفة هي جدول مستطيل من الأعداد منتظم في أسطر وأعمدة. إذا كان لها m سطراً و n عموداً نقول إن بعدها m×n.
42. كيف نجمع مصفوفتين؟
    الجواب: نجمع المصفوفتين A و B لهما نفس البعد بجمع العناصر المتناظرة: (A+B)ᵢⱼ = Aᵢⱼ + Bᵢⱼ.
43. ما هو جداء مصفوفة في عدد حقيقي؟
    الجواب: نضرب كل عنصر من عناصر المصفوفة في ذلك العدد: (k×A)ᵢⱼ = k × Aᵢⱼ.
44. متى يكون جداء مصفوفتين معرفاً؟
    الجواب: جداء A×B معرف إذا كان عدد أعمدة A يساوي عدد أسطر B. الناتج بعدده (عدد أسطر A) × (عدد أعمدة B).
45. كيف نحسب محدد مصفوفة من الرتبة 2؟
    الجواب: لمصفوفة A = [[a, b], [c, d]]: det(A) = a×d – b×c.
46. ما هي المصفوفة المربعة؟
    الجواب: المصفوفة المربعة هي التي عدد أسطرها يساوي عدد أعمدةها (n×n).
47. عرف المصفوفة المحايدة (Identity).
    الجواب: المصفوفة المحايدة Iₙ هي مصفوفة مربعة أقطرها الرئيسي يساوي 1 وباقي عناصرها 0. تحقق Iₙ×A = A×Iₙ = A.
48. ما هي المصفوفة القابلة للعكس؟
    الجواب: المصفوفة A قابلة للعكس إذا وجدت مصفوفة A⁻¹ تحقق A×A⁻¹ = A⁻¹×A = I. شرط ذلك أن يكون det(A) ≠ 0.
49. كيف نحسب معكوس مصفوفة من الرتبة 2؟
    الجواب: إذا A = [[a,b],[c,d]] و det(A)≠0 فإن A⁻¹ = 1/det(A) × [[d, -b], [-c, a]].
50. كيف نحل نظام معادلات خطية باستخدام المصفوفات؟
    الجواب: نكتب النظام A×X = B حيث A مصفوفة المعاملات، X متجه المجاهيل، B متجه الثوابت. ثم X = A⁻¹×B إذا كانت A قابلة للعكس.
51. ما هو المتجه في الفضاء؟
    الجواب: المتجه هو كمية لها مقدار واتجاه. في الفضاء ثلاثي الأبعاد، يكتب ⃗v = (x, y, z) أو v = x⃗i + y⃗j + z⃗k.
52. كيف نحسب الجداء السلمي لمتجهين؟
    الجواب: الجداء السلمي ⃗u·⃗v = |⃗u|×|⃗v|×cos(θ) حيث θ الزاوية بينهما. بالإحداثيات: u₁v₁+u₂v₂+u₃v₃.
53. ما هو الجداء المتجهي؟
    الجواب: الجداء المتجهي ⃗u×⃗v هو متجه عمودي على كل من ⃗u و ⃗v، مقداره |⃗u|×|⃗v|×sin(θ)، واتجاهه يحدد بقاعدة اليد اليمنى.
54. كيف نحسب مساحة متوازي أضلاع بمتجهين؟
    الجواب: مساحة متوازي الأضلاع = |⃗u×⃗v|، أي معيار الجداء المتجهي للمتجهين.
55. ما هي المعادلة الديكارتية لمستوى؟
    الجواب: المعادلة الديكارتية لمستوى هي: ax + by + cz + d = 0، حيث (a,b,c) متجه ناظم (normal) للمستوى.
56. كيف نحسب المسافة بين نقطة ومستوى؟
    الجواب: المسافة من النقطة P(x₀,y₀,z₀) إلى المستوى ax+by+cz+d=0: d = |ax₀+by₀+cz₀+d| / √(a²+b²+c²).
57. ما هي المعادلة الوسيطية لمستقيم في الفضاء؟
    الجواب: (x,y,z) = (x₀,y₀,z₀) + t×(a,b,c)، t∈ℛ، حيث (x₀,y₀,z₀) نقطة من المستقيم و (a,b,c) متجه توجيه.
58. كيف نحدد إذا كان مستقيمان متوازيين في الفضاء؟
    الجواب: مستقيمان متوازيان إذا كان متجها توجيههما مرتبطين خطياً (أحدهما من مضاعفات الآخر).
59. ما هو الاحتمال؟
    الجواب: الاحتمال هو قياس عددي لفرصة حدوث حدث، قيمته بين 0 و 1. P(Ω)=1, P(∅)=0.
60. ما هي صيغة الاحتمال الشرطي؟
    الجواب: P(A|B) = P(A∩B)/P(B) حيث P(B)>0. وهو احتمال وقوع A بشرط حدوث B.
61. متى نقول إن حدثين مستقلان؟
    الجواب: الحدثان A و B مستقلان إذا كان P(A∩B) = P(A)×P(B)، أو P(A|B) = P(A).
62. ما هو المتغير العشوائي؟
    الجواب: المتغير العشوائي X هو دالة من فضاء العينة Ω إلى مجموعة الأعداد الحقيقية ℛ، يربط كل نتيجة عدداً.
63. كيف نحسب الأمل الرياضي (التوقع)؟
    الجواب: E(X) = Σ xᵢ×P(X=xᵢ) لمتغير عشوائي منفصل. وهو متوسط القيم المتوقعة مرجحة باحتمالاتها.
64. ما هو التباين؟ وكيف يحسب؟
    الجواب: التباين V(X) = E[(X-E(X))²] = E(X²) – [E(X)]². ويقيس تشتت قيم المتغير العشوائي حول متوسطه.
65. عرف قانون برنولي.
    الجواب: تجربة برنولي هي تجربة عشوائية بنتيجتين فقط: نجاح (p) وفشل (q=1-p). المتغير X~Bernoulli(p) يأخذ 1 بنجاح و 0 عند الفشل.
66. ما هو قانون التوزيع ذو الحدين (Binomial)؟
    الجواب: X~B(n,p) يصف عدد النجاحات في n تجربة برنولي مستقلة. P(X=k) = C(n,k)×pᵏ×(1-p)ⁿ⁻ᵏ، حيث E(X)=np.
67. متى نستخدم قانون بواسون؟
    الجواب: قانون بواسون P(λ) يستخدم لنمذجة عدد مرات حدوث حدث في فترة زمنية أو مكانية ثابتة، عندما تكون الأحداث نادرة ومستقلة.
68. كيف نحسب معامل الارتباط الخطي؟
    الجواب: r = Cov(X,Y)/(σₓ×σᵧ) حيث Cov(X,Y) هو التغاير. قيمته بين -1 و 1، ويقيس قوة العلاقة الخطية بين متغيرين.
69. ما هو مبدأ المربعات الصغرى في الانحدار؟
    الجواب: نجد المستقيم y = ax + b الذي يقلل مجموع مربعات الفروق بين القيم الملاحظة والقيم المقدرة: Σ(yᵢ – (axᵢ+b))².
70. عرف العدد المركب.
    الجواب: العدد المركب z = a + ib حيث a,b∈ℛ و i² = -1. a هو الجزء الحقيقي (Re(z)) و b هو الجزء التخيلي (Im(z)).
71. كيف نجمع ونطرح الأعداد المركبة؟
    الجواب: (a+ib) ± (c+id) = (a±c) + i(b±d). نجمع الأجزاء الحقيقية معاً والتخيلية معاً.
72. ما هو مرافق عدد مركب؟
    الجواب: مرافق العدد z=a+ib هو ¯z = a-ib. حاصل ضرب عدد في مرافقه: zׯz = a²+b² = |z|².
73. كيف نحسب معيار (مقياس) عدد مركب؟
    الجواب: |z| = √(a²+b²) إذا كان z=a+ib. يمثل المسافة بين النقطة (a,b) وأصل المعلم.
74. ما هو الشكل المثلثي لعدد مركب؟
    الجواب: z = r(cosθ + i sinθ) حيث r = |z| هو المقياس و θ = arg(z) هو العمدة، مع r≥0.
75. كيف نكتب عدداً مركباً بالشكل الأسي؟
    الجواب: z = r×eⁱᶿ = r(cosθ + i sinθ) باستخدام صيغة أويلر: eⁱᶿ = cosθ + i sinθ.
76. ما هي صيغة موافر (De Moivre)؟
    الجواب: (cosθ + i sinθ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ) لكل n∈ℤ. تستخدم لحساب قوى الأعداد المركبة.
77. كيف نحسب الجذور النونية للعدد 1؟
    الجواب: الجذور النونية للعدد 1: ωₖ = e^(2πik/n) = cos(2πk/n) + i sin(2πk/n)، k=0,1,…,n-1.
78. ما هي نظرية الأساس في الجبر (Fundamental Theorem of Algebra)؟
    الجواب: كل معادلة حدودية من الدرجة n لها n جذراً مركباً (مع احتساب التعدديات). أي كل حدودية من الدرجة n تقبل n حلاً في ℂ.
79. كيف نحل معادلة من الدرجة الثانية ذات معاملات مركبة؟
    الجواب: نستخدم نفس الصيغة ax²+bx+c=0 ⇒ x=(-b±√Δ)/(2a) مع Δ=b²-4ac. الجذر التربيعي لـ Δ يوجد دائماً في ℂ.
80. ما تطبيقات الأعداد المركبة في الهندسة؟
    الجواب: تمثل الأعداد المركبة نقاطاً في المستوي. الدوران بزاوية θ حول نقطة الأصل هو ضرب في eⁱᶿ. والانسحاب هو جمع عدد مركب. كما تستخدم في دراسة التحويلات الهندسية (التشابه، الدوران، الانعكاس).

---

——— نهاية بنك الأسئلة التربوية (80 سؤالاً) ———

إعداد: أستاذ بنك الأسئلة التربوية — جميع الحقوق محفوظة

📍 دروس مشابهة:

• بنك الأسئلة التربوية (1) — بكالوريا الشعب العلمية — الرياضيات (80 سؤالاً)
• بنك الأسئلة التربوية (1) — المعلمون — استراتيجيات التدريس الحديثة (80 سؤالاً)