المعادلات من الدرجة الثانية بمجهول واحد (مقدمة) — الرياضيات — السنة الرابعة متوسط — المنهاج الجزائري

تعتبر المعادلات من الدرجة الثانية بمجهول واحد من أهم المواضيع في منهاج الرياضيات للسنة الرابعة متوسط، حيث تمثل جسراً مهماً بين المعادلات الخطية التي درستها في السنوات السابقة والمعادلات الأكثر تقدماً في المرحلة الثانوية. تتناول هذه الحصة تعريف المعادلة من الدرجة الثانية وطرق حلها في حالاتها البسيطة باستخدام الجذور التربيعية والتحليل إلى عوامل.

◆ الأهداف التعليمية

• التعرف على الصورة العامة للمعادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد
• حل معادلات من الشكل x² = a مع تمييز الحالات حسب إشارة a
• حل معادلات من الشكل ax² + b = 0
• استخدام المتطابقة الشهيرة a² − b² = (a − b)(a + b) لحل المعادلات
• حل معادلات من الشكل (x + m)² = n

◆ تعريف المعادلة من الدرجة الثانية

◆ أولاً: حل معادلة من الشكل x² = a

هذه أبسط صورة للمعادلة من الدرجة الثانية. نبحث عن العدد (الأعداد) x الذي مربعه يساوي a.

◆ شرح الترميز: نكتب الحلين على الشكل x = ±√a ونقرأ “x يساوي زائد أو ناقص جذر a”.

◆ ثانياً: حل معادلة من الشكل ax² + b = 0

نحول هذه المعادلة إلى الشكل x² = a باتباع الخطوات التالية:

1. ننقل الحد b إلى الطرف الآخر: ax² = −b
2. نقسم الطرفين على a (حيث a ≠ 0): x² = −b/a
3. نطبق القاعدة السابقة مع العدد −b/a

◆ ثالثاً: استخدام فرق مربعين a² − b² = (a − b)(a + b)

عندما تكون المعادلة من الشكل x² − k = 0، نستطيع تحليل الطرف الأيسر باستخدام المتطابقة الشهيرة:

x² − k = (x − √k)(x + √k) = 0

وباستخدام قاعدة: إذا كان حاصل ضرب عاملين يساوي 0، فإن أحد العاملين على الأقل يساوي 0، نحصل على:

x − √k = 0 أو x + √k = 0

أي x = √k أو x = −√k

◆ رابعاً: حل معادلة من الشكل (x + m)² = n

نستخدم نفس قاعدة x² = a، مع اعتبار (x + m) هو المجهول الجديد:

• إذا كان n > 0: x + m = √n أو x + m = −√n → x = −m + √n أو x = −m − √n
• إذا كان n = 0: x + m = 0 → x = −m (حل وحيد)
• إذا كان n < 0: لا يوجد حل حقيقي

◆ أمثلة محلولة

◆ المثال 1: حل المعادلة x² = 25

الحل:

بما أن 25 > 0، فإن للمعادلة حلين حقيقيين:
x = √25 = 5 أو x = −√25 = −5
مجموعة الحلول: S = {−5 ; 5}

◆ التحقق: 5² = 25 ✅ و (−5)² = 25 ✅

◆ المثال 2: حل المعادلة x² = −9

الحل:

بما أن −9 < 0، فلا يوجد عدد حقيقي مربعه يساوي −9.
مجموعة الحلول: S = ∅ (مجموعة خالية — لا توجد حلول حقيقية)

◆ المثال 3: حل المعادلة 2x² − 8 = 0

الحل:

الخطوة 1: ننقل الحد الثابت: 2x² = 8
الخطوة 2: نقسم الطرفين على 2: x² = 4
الخطوة 3: نطبق القاعدة: x = √4 = 2 أو x = −√4 = −2
مجموعة الحلول: S = {−2 ; 2}

◆ المثال 4: حل المعادلة x² − 7 = 0 باستخدام فرق المربعين

الحل:

نكتب x² − 7 = 0 → (x − √7)(x + √7) = 0
إذن x − √7 = 0 أو x + √7 = 0
x = √7 أو x = −√7
مجموعة الحلول: S = {−√7 ; √7}

◆ المثال 5: حل المعادلة (x + 3)² = 16

الحل:

بما أن 16 > 0، فإن:
x + 3 = √16 = 4 أو x + 3 = −√16 = −4
x = 4 − 3 = 1 أو x = −4 − 3 = −7
مجموعة الحلول: S = {−7 ; 1}

◆ التحقق: (1 + 3)² = 4² = 16 ✅ و (−7 + 3)² = (−4)² = 16 ✅

◆ المثال 6 (تطبيق BEM): حل المعادلة 3x² − 27 = 0

الحل:

الخطوة 1: ننقل −27: 3x² = 27
الخطوة 2: نقسم على 3: x² = 9
الخطوة 3: x = √9 = 3 أو x = −√9 = −3
مجموعة الحلول: S = {−3 ; 3}

◆ بطريقة التحليل: 3x² − 27 = 3(x² − 9) = 3(x − 3)(x + 3) = 0 → x − 3 = 0 أو x + 3 = 0 → S = {−3 ; 3}

◆ جدول تلخيصي — طرق الحل حسب شكل المعادلة

شكل المعادلة	طريقة الحل	شروط وجود الحلول
x² = a	x = ±√a	يجب a ≥ 0
ax² + b = 0	x² = −b/a → x = ±√(−b/a)	يجب −b/a ≥ 0
x² − k = 0	(x − √k)(x + √k) = 0	يجب k ≥ 0
(x + m)² = n	x = −m ± √n	يجب n ≥ 0

◆ تمارين تطبيقية

1. حل المعادلات التالية:
   أ) x² = 49 ب) x² = 0 ج) x² = −4
2. حل المعادلات التالية:
   أ) 4x² − 36 = 0 ب) 2x² + 18 = 0 ج) 5x² − 20 = 0
3. حل باستخدام فرق المربعين:
   أ) x² − 25 = 0 ب) x² − 11 = 0
4. حل المعادلات التالية:
   أ) (x − 2)² = 9 ب) (x + 1)² = 0 ج) (x − 5)² = 4
5. (تحدي) حل المعادلة: (2x − 1)² = 25
6. مسألة BEM: مستطيل طوله يزيد عن عرضه بـ 3 أمتار، ومساحته 40 متراً مربعاً. عين أبعاد هذا المستطيل.
   (تلميح: ضع x = العرض، فإن الطول = x + 3، والمساحة = x(x + 3) = 40)

◆ حلول التمارين

◆ حل التمرين 1:

أ) x² = 49 → x = 7 أو x = −7, S = {−7 ; 7}

ب) x² = 0 → x = 0, S = {0}

ج) x² = −4 → S = ∅ (لا يوجد حل حقيقي لأن −4 < 0)

◆ حل التمرين 2:

أ) 4x² − 36 = 0 → 4x² = 36 → x² = 9 → x = 3 أو x = −3, S = {−3 ; 3}

ب) 2x² + 18 = 0 → 2x² = −18 → x² = −9 → S = ∅ (لا يوجد حل حقيقي)

ج) 5x² − 20 = 0 → 5x² = 20 → x² = 4 → x = 2 أو x = −2, S = {−2 ; 2}

◆ حل التمرين 3:

أ) x² − 25 = 0 → (x − 5)(x + 5) = 0 → x = 5 أو x = −5, S = {−5 ; 5}

ب) x² − 11 = 0 → (x − √11)(x + √11) = 0 → x = √11 أو x = −√11, S = {−√11 ; √11}

◆ حل التمرين 4:

أ) (x − 2)² = 9 → x − 2 = 3 أو x − 2 = −3 → x = 5 أو x = −1, S = {−1 ; 5}

ب) (x + 1)² = 0 → x + 1 = 0 → x = −1, S = {−1}

ج) (x − 5)² = 4 → x − 5 = 2 أو x − 5 = −2 → x = 7 أو x = 3, S = {3 ; 7}

◆ حل التمرين 5 (تحدي):

(2x − 1)² = 25 → 2x − 1 = 5 أو 2x − 1 = −5
2x − 1 = 5 → 2x = 6 → x = 3
2x − 1 = −5 → 2x = −4 → x = −2
S = {−2 ; 3}

◆ حل التمرين 6 (مسألة BEM):

نضع x = العرض (بالمتر)، الطول = x + 3
المساحة: x(x + 3) = 40 → x² + 3x − 40 = 0
باستخدام التحليل (بحث ذهني): (x + 8)(x − 5) = 0
إذن x = −8 (مرفوض لأن الطول لا يمكن أن يكون سالباً) أو x = 5
العرض = 5 م، الطول = 8 م
التحقق: المساحة = 5 × 8 = 40 م² ✅

◆ نشاط منزلي

ابحث في محيط منزلك عن شكل مربع أو مستطيل، وقس طول ضلعه (أو أبعاده). اكتب معادلة من الدرجة الثانية تمثل مساحة هذا الشكل، ثم حلها باستخدام إحدى الطرق التي تعلمتها في هذا الدرس. تحقق من صحة حلك بمقارنته مع المساحة المحسوبة بالقياس المباشر.

---

◆ دروس مشابهة

• المعادلات والمتراجحات من الدرجة الأولى بمجهول واحد — الرياضيات — السنة الرابعة متوسط
• النشر والتحليل — المتطابقات الشهيرة والأساليب — الرياضيات — السنة الرابعة متوسط