مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
الدوران في المستوى هو أحد التحويلات الهندسية الهامة التي تدرس في السنة الرابعة متوسط، وهو يمثل تطوراً لمفهوم الإزاحة (الانسحاب) الذي تعلمته سابقاً. في هذا الدرس، سنتعرف على مفهوم الدوران، عناصره (المركز والزاوية والاتجاه)، وطريقة تحديد صورة نقطة أو شكل بالدوران، بالإضافة إلى خصائص الدوران كتحويل هندسي يحافظ على المسافات والقياسات.
◆ الأهداف التعليمية
- التعرف على مفهوم الدوران في المستوى
- تحديد عناصر الدوران: المركز، الزاوية والاتجاه
- إيجاد صورة نقطة بدوران مركزه O وزاويته α واتجاهه
- إيجاد صورة قطعة مستقيمة ومضلع بالدوران
- استنتاج خصائص الدوران (حفظ المسافات، الزوايا، المساحات)
◆ مفهوم الدوران في المستوى
◆ تعريف: الدوران في المستوى هو تحويل هندسي ينقل كل نقطة M من المستوى إلى نقطة M’ (تسمى صورة M) بحيث:
- M’ تنتمي إلى الدائرة التي مركزها O (مركز الدوران) ونصف قطرها OM
- قياس الزاوية M’OM يساوي زاوية الدوران α (بين 0° و 360°)
- اتجاه الدوران إما موجب (عكس عقارب الساعة) أو سالب (مع عقارب الساعة)
◆ نكتب: M’ = R(O, α)(M) وتعني “صورة M بالدوران الذي مركزه O وزاويته α”
◆ ملاحظة مهمة: إذا كانت زاوية الدوران 0° فإن كل نقطة تكون صورة لنفسها. إذا كانت الزاوية 180° فإن الدوران يطابق التناظر المركزي (تماثل بالنسبة لنقطة). الدوران بزاوية 360° يعيد كل نقطة إلى موضعها الأصلي.
◆ عناصر الدوران
يتحدد الدوران بثلاثة عناصر أساسية:
| العنصر | الرمز | الوصف |
|---|---|---|
| مركز الدوران | O | نقطة ثابتة تبقى مكانها ولا تتغير بالدوران |
| زاوية الدوران | α | الزاوية التي تدور بها النقطة (مقاسة بالدرجات °) |
| اتجاه الدوران | موجب/سالب | موجاب = عكس عقارب الساعة، سالب = مع عقارب الساعة |
◆ كيفية إيجاد صورة نقطة بالدوران
◆ طريقة الإنشاء باستخدام المسطرة والمنقلة والفرجار:
- نصل النقطة M بمركز الدوران O بالقطعة [OM]
- نقيس طول OM
- ننشئ زاوية قياسها α ضلعها [OM] واتجاهها مناسب (حسب اتجاه الدوران)
- نعين النقطة M’ على الضلع الآخر للزاوية بحيث OM’ = OM
◆ قاعدة: مركز الدوران O هو النقطة الوحيدة التي تساوي صورتها نفسها (أي R(O, α)(O) = O). جميع النقط الأخرى تدور حول O.
◆ خصائص الدوران
الدوران يحافظ على (أي أن صورة الشكل تطابق الشكل الأصلي):
- المسافات: إذا كان A’ و B’ هما صورتي A و B على الترتيب، فإن AB = A’B’
- قياسات الزوايا: قياس الزاوية لا يتغير بالدوران
- استقامة النقط: إذا كانت النقط A, B, C على استقامة واحدة، فإن صورها A’, B’, C’ كذلك
- المساحات: مساحة أي شكل تساوي مساحة صورته بالدوران
- الأطوال: طول قطعة مستقيمة يساوي طول صورتها
◆ صورة قطعة مستقيمة ومضلع بالدوران
◆ صورة قطعة مستقيمة [AB]: نوجد صورة كل من A و B بالدوران فنحصل على A’ و B’. القطعة [A’B’] هي صورة القطعة [AB].
◆ صورة مضلع: نوجد صورة كل رأس من رؤوس المضلع بالدوران، ثم نوصل الصور بالترتيب نفسه.
◆ أمثلة محلولة
◆ المثال 1: نعتبر دوراناً مركزه O وزاويته 90° في الاتجاه الموجب (عكس عقارب الساعة). أوجد صورة النقطة A علماً أن OA = 3 cm.
الحل:
ننشئ الزاوية AOA’ = 90° في الاتجاه الموجب. نأخذ A’ على ضلع الزاوية بحيث OA’ = OA = 3 cm.
إذن A’ هي صورة A بالدوران R(O, 90°).
التحقق: المسافة OA’ = OA = 3 cm ✅ والزاوية AOA’ = 90° ✅
◆ المثال 2: مثلث ABC أبعاده: AB = 4 cm، BC = 5 cm، AC = 3 cm. أجري عليه دوراناً مركزه O وزاويته 60° في الاتجاه السالب. ما هي أبعاد المثلث A’B’C’؟
الحل:
بما أن الدوران يحافظ على المسافات، فإن أبعاد المثلث A’B’C’ تساوي أبعاد المثلث ABC:
A’B’ = AB = 4 cm ✅
B’C’ = BC = 5 cm ✅
A’C’ = AC = 3 cm ✅
◆ ملاحظة: المثلثان ABC و A’B’C’ متطابقان تماماً — فقط تغير موضعهما (اتجاههما) في المستوى.
◆ المثال 3: النقطة A(2, 0) في معلم متعامد. ما هي صورة A بالدوران الذي مركزه O (أصل المعلم) وزاويته 90° في الاتجاه الموجب؟
الحل:
النقطة A تقع على محور الأفاصيل (x) على بعد 2 من O.
بعد دوران بزاوية 90° في الاتجاه الموجب، تنتقل A إلى النقطة A'(0, 2) على محور التراتيب (y).
التحقق: OA = √(2² + 0²) = 2، و OA’ = √(0² + 2²) = 2 ✅
الزاوية AOA’ = 90° ✅
◆ الفرق بين الإزاحة (الانسحاب) والدوران
| الخاصية | الإزاحة | الدوران |
|---|---|---|
| العناصر المحددة | متجهة (u) | مركز O + زاوية α + اتجاه |
| حركة النقط | جميع النقط تنتقل بنفس الاتجاه والمسافة | النقط تدور حول مركز O بزاوية α |
| النقطة الثابتة | لا توجد (إلا إذا u = 0) | مركز الدوران O فقط |
| الحفاظ على الأبعاد | ✅ يحافظ على المسافات والزوايا | ✅ يحافظ على المسافات والزوايا |
◆ تمارين تطبيقية
- أوجد صورة النقطة A بالدوران R(O, 45°) في الاتجاه الموجب، علماً أن OA = 5 cm.
- مربع ABCD طول ضلعه 6 cm. أجري عليه دوراناً مركزه O (مركز المربع) وزاويته 90° في الاتجاه الموجب. ارسم شكلاً تقريبياً يبين صورة المربع بالدوران.
- النقطة B(0, 3) في معلم متعامد. أوجد صورتها بالدوران الذي مركزه O وزاويته 180° في الاتجاه الموجب.
- هل يمكن أن تساوي صورة نقطة A بالدوران النقطة A نفسها إذا كانت α ≠ 0°؟ برر إجابتك.
- (تحدي — تحضير BEM): مثلث ABC قائم الزاوية في A بحيث AB = 4 cm و AC = 3 cm (إذن BC = 5 cm). أجري عليه دوراناً مركزه A وزاويته 90° في الاتجاه الموجب. أحسب محيط المثلث A’B’C’.
◆ حلول التمارين
◆ حل التمرين 1:
ننشئ زاوية قياسها 45° ضلعها [OA] باتجاه عكس عقارب الساعة. نأخذ A’ على الضلع الثاني بحيث OA’ = OA = 5 cm.
◆ حل التمرين 2:
بما أن O مركز المربع، فإن صورة كل رأس بالدوران 90° هي الرأس التالي في نفس الاتجاه:
A ← B, B ← C, C ← D, D ← A. إذن صورة المربع ABCD هي نفسها المربع ABCD (تطابق).
◆ حل التمرين 3:
الدوران بزاوية 180° هو تناظر مركزي. صورة النقطة B(0, 3) هي B'(0, -3).
التحقق: OB = 3، OB’ = 3 ✅، والزاوية BOB’ = 180° ✅
◆ حل التمرين 4:
نعم، إذا كانت A هي مركز الدوران نفسه (أي A = O). في هذه الحالة R(A, α)(A) = A مهما كانت α.
◆ حل التمرين 5 (تحدي):
الدوران يحافظ على المسافات. محيط المثلث A’B’C’ = محيط المثلث ABC.
محيط ABC = AB + BC + AC = 4 + 5 + 3 = 12 cm.
إذن محيط A’B’C’ = 12 cm.
ملاحظة: النقطة A هي مركز الدوران، لذا A’ = A (تساوي نفسها).
◆ نشاط منزلي
ارسم شكلاً من 5 نقط غير منتظمة (مثل نجمة خماسية تقريبية) على ورقة مربعات. حدد نقطة O في منتصف الورقة. أنشئ صورة هذا الشكل بدوران مركزه O وزاويته 60° في الاتجاه الموجب، ثم بدوران 120° وناقش كيف تتغير الصور بتغير زاوية الدوران.
◆ دروس مشابهة
- هندسة الدائرة — الزوايا المحيطية والمركزية — العلاقة بينهما — الرياضيات — السنة
- نظرية فيثاغورس — الرياضيات للسنة الرابعة متوسط
