الرياضيات — النهايات والاستمرارية: دراسة الاستمرارية — الثانية ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

النهايات والاستمرارية: دراسة الاستمرارية

مفهوم الاستمرارية هو أحد المفاهيم الأساسية في التحليل الرياضي. نقول أن دالة f متصلة عند نقطة a إذا كانت نهاية الدالة عند a تساوي قيمة الدالة عند a.

تعريف الاستمرارية عند نقطة

تكون الدالة f متصلة عند النقطة a (حيث a ∈ D_f) إذا تحقق:
lim(x→a) f(x) = f(a)
أي أن نهاية f(x) عندما يؤول x إلى a موجودة وتساوي f(a).

الاستمرارية على مجال

تكون الدالة f متصلة على مجال مفتوح ]a,b[ إذا كانت متصلة عند كل نقطة من هذا المجال.
تكون الدالة f متصلة على مجال مغلق [a,b] إذا كانت متصلة على ]a,b[ ومتصلة من اليمين عند a ومن اليسار عند b.

الاستمرارية من اليمين ومن اليسار

الاستمرارية من اليمين: lim(x→a⁺) f(x) = f(a)
الاستمرارية من اليسار: lim(x→a⁻) f(x) = f(a)

مثال

لتكن f(x) = { x²+1 إذا x < 2; 3x-1 إذا x ≥ 2 }
lim(x→2⁻) f(x) = 2²+1 = 5
lim(x→2⁺) f(x) = 3×2-1 = 5
f(2) = 5
إذن f متصلة عند x = 2.

الاستمرارية والدوال الأساسية

الدوال الحدودية متصلة على ℝ.
الدوال الجذرية متصلة على مجال تعريفها.
الدوال المثلثية (sin, cos) متصلة على ℝ.
الدالة الأسية e^x متصلة على ℝ.
الدالة اللوغاريتمية ln x متصلة على ]0,+∞[.
مجموع وجداء ومركب دالتين مستمرتين هو دالة مستمرة.

تمارين

1. ادرس استمرارية الدوال التالية عند النقاط المعطاة:
   أ) f(x) = { x+2 إذا x < 1; 3x إذا x ≥ 1 } عند x=1
   ب) f(x) = { x²-1 إذا x ≤ 0; 2x-1 إذا x > 0 } عند x=0
2. حدد قيم a التي تجعل الدالة متصلة:
   f(x) = { ax+1 إذا x < 2; x²-a إذا x ≥ 2 }
3. بين أن المعادلة x³ – 3x + 1 = 0 تقبل حلاً في المجال [0,1] باستخدام نظرية القيم المتوسطة.
4. ادرس اشتقاقية الدالة f(x) = |x²-1| عند النقط x = -1 و x = 1.

للاستزادة، راجع درس النهايات: قواعد حساب النهايات ودرس الاشتقاقية.

📍 دروس مشابهة:

• 13جويلية بداية سحب استدعاءات التكوين للأساتذة الجدد
• التاريخ والجغرافيا — الحيوانات الأليفة وتربيتها — السنة الثانية إبتدائي — المنهاج الجزائري
• اللغة العربية – الجملة الاسمية والجملة الفعلية (الفرق بينهما مع الأمثلة) – السنة الثالثة إبتدائي – المنهاج الجزائري