الرياضيات — التكامل: حساب المساحات والحجوم — الثالثة ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

التكامل: حساب المساحات والحجوم

للتكامل تطبيقات هندسية هامة، أبرزها حساب المساحات والحجوم. في هذا الدرس سنتعلم كيفية استخدام التكامل لحساب المساحات بين المنحنيات وحساب حجوم الأجسام الدورانية.

حساب المساحة بين منحنيين

إذا كانت f و g دالتين مستمرتين على [a,b] بحيث f(x) ≥ g(x) لكل x ∈ [a,b]، فإن المساحة المحصورة بين منحنيي الدالتين والمستقيمين x=a و x=b تعطى بالعلاقة:
A = ∫[a,b] (f(x) – g(x)) dx

مثال

احسب المساحة المحصورة بين منحنيي f(x) = x² و g(x) = x في المجال [0,1]:
f(x) – g(x) = x² – x = x(x-1) ≤ 0 في [0,1] لذا g(x) ≥ f(x) → A = ∫[0,1] (x – x²) dx = [x²/2 – x³/3][0,1] = 1/2 – 1/3 = 1/6

حساب الحجوم (الأجسام الدورانية)

عند دوران مساحة محصورة بين منحنى دالة f والمحور x حول محور الفواصل (محور x)، فإن الحجم الناتج يعطى بالعلاقة:
V = π ∫[a,b] (f(x))² dx

مثال

احسب حجم الجسم الناتج عن دوران منحنى f(x) = √x في [0,4] حول محور x:
V = π ∫[0,4] (√x)² dx = π ∫[0,4] x dx = π [x²/2][0,4] = π(8-0) = 8π

حساب الحجم بالدوران حول محور y

عند الدوران حول محور y، نستخدم: V = π ∫[c,d] (g(y))² dy حيث x = g(y)

تمارين

1. احسب المساحة المحصورة بين منحنيي f(x) = x³ و g(x) = x في المجال [0,1].
2. احسب المساحة المحصورة بين منحنى f(x) = x²-2x والمحور x (حيث f(x) ≥ 0).
3. احسب حجم الجسم الناتج عن دوران منحنى f(x) = sin x في [0,π] حول محور x.
4. احسب حجم الجسم الناتج عن دوران المساحة المحصورة بين f(x) = x² و g(x) = 2x حول محور x.
5. تطبيق: خزان ماء على شكل نصف كرة قطره 4m، احسب حجمه باستخدام التكامل.

للاستزادة، راجع درس التكامل: مفهوم التكامل غير المحدد ودرس دراسة الدوال.

📍 دروس مشابهة:

• القائمة النهائية للناجحين في مسابقة مشرف التربية 2016 لولاية البليدة
• مذكرات اللغة العربية للسنة الرابعة متوسط
• التاريخ والجغرافيا – الموارد الطبيعية في الجزائر (المعادن والمناجم والطاقة) – السنة الرابعة إبتدائي – المنهاج الجزائري