الرياضيات — الدوال الأصلية: تطبيقات في حساب المساحات — الثالثة ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

الدوال الأصلية: تطبيقات في حساب المساحات

تستخدم الدوال الأصلية والتكامل لحساب المساحات المحصورة بين منحنيات الدوال والمحاور. هذا التطبيق هو أحد أهم استخدامات التكامل في الرياضيات والفيزياء والهندسة.

أولاً: المساحة المحصورة بين منحني دالة والمحور x

إذا كانت f متصلة على [a, b]، فإن المساحة المحصورة بين منحنى f(x) والمحور x من a إلى b هي:

S = ∫|f(x)|dx من a إلى b

مثال 1:

احسب المساحة المحصورة بين f(x) = x² والمحور x من 0 إلى 2.

الحل: f(x) ≥ 0 على [0,2]. S = ∫x² dx = [x³/3]₀² = 8/3 وحدة مربعة.

ثانياً: المساحة بين منحنيين

المساحة المحصورة بين f(x) و g(x) حيث f(x) ≥ g(x) على [a, b]:

S = ∫[f(x)-g(x)]dx من a إلى b

مثال 2:

المساحة بين f(x)=x² و g(x)=x من 0 إلى 1. على [0,1]، g(x)≥f(x). S = ∫(x-x²)dx = [x²/2-x³/3]₀¹ = 1/6 وحدة مربعة.

ثالثاً: خطوات حساب المساحة

1. تحديد مجال التكامل [a, b]
2. تحديد الدالة الأعلى والأسفل
3. حساب التكامل المحدد للفرق
4. تطبيق صيغة نيوتن-لايبنز

تمارين تطبيقية

التمرين 1:

احسب المساحة بين f(x)=x²-4x+4 والمحور x من 1 إلى 3.

الحل: f(x)=(x-2)²≥0. S = ∫(x²-4x+4)dx = [x³/3-2x²+4x]₁³ = 3 – 7/3 = 2/3 وحدة مربعة.

التمرين 2:

احسب المساحة بين f(x)=x²-2x و g(x)=0 من 0 إلى 2.

الحل: على [0,2]، f(x)≤0. S = ∫(2x-x²)dx = [x²-x³/3]₀² = 4/3 وحدة مربعة.

الربط مع دروس أخرى

راجع درس جدول الدوال الأساسية ودرس التكامل بالتجزئة.

📍 دروس مشابهة

• الدوال الأسية
• المعادلات الأسية
• الأعداد العقدية