مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
المعادلات التفاضلية من الرتبة الثانية
المعادلات التفاضلية من الرتبة الثانية هي معادلات تربط دالة مجهولة بمشتقاتها من الرتبة الأولى والثانية. لها تطبيقات واسعة في الفيزياء والهندسة.
أولاً: التعريف
المعادلة التفاضلية من الرتبة الثانية هي معادلة من الشكل:
y” + a.y’ + b.y = f(x)
حيث a و b ثوابت، و f(x) دالة معلومة.
ثانياً: المعادلة المتجانسة y” + a.y’ + b.y = 0
نحل المعادلة المميزة: r² + a.r + b = 0
- إذا كان جذران حقيقيان مختلفان r₁ و r₂: y = C₁.e^(r₁.x) + C₂.e^(r₂.x)
- إذا كان جذر مزدوج r₀: y = (C₁ + C₂.x).e^(r₀.x)
- إذا كان جذران عقديان a±ib: y = e^(a.x).[C₁.cos(b.x) + C₂.sin(b.x)]
مثال 1:
y” – 3y’ + 2y = 0. المعادلة المميزة: r² – 3r + 2 = 0. الجذران r=1 و r=2. الحل: y = C₁.e^x + C₂.e^(2x)
مثال 2:
y” + 4y = 0. المعادلة المميزة: r² + 4 = 0. الجذران r=±2i. الحل: y = C₁.cos(2x) + C₂.sin(2x)
تمارين تطبيقية
التمرين 1:
حل y” + 6y’ + 9y = 0
الحل: r²+6r+9=0 → (r+3)²=0 → جذر مزدوج r=-3. الحل: y = (C₁ + C₂.x).e^(-3x)
التمرين 2:
حل y” + 2y’ + 5y = 0
الحل: r²+2r+5=0 → Δ=4-20=-16 → r=-1±2i. الحل: y = e^(-x)[C₁.cos(2x)+C₂.sin(2x)]
الربط مع دروس أخرى
راجع درس المعادلات y’ = ky للأساسيات، ودرس تطبيقات في الفيزياء.