الرياضيات — الجداء المتجهي في المستوى: تعريفه وحسابه — الثانية ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

الجداء المتجهي (Vector Product) في المستوى

الجداء المتجهي أو الجداء الاتجاهي هو عملية على متجهين تنتج متجهة عمودية عليهما. رغم أن الجداء المتجهي في الفضاء ثلاثي الأبعاد هو الأكثر شيوعاً، إلا أن له تطبيقات مهمة في المستوى ثنائي الأبعاد.

أولاً: تعريف الجداء المتجهي لمتجهتين في المستوى

إذا كان لدينا متجهتان u = (x₁, y₁) و v = (x₂, y₂) في المستوى، فإن الجداء المتجهي (أو المحدد) يعرف بـ:

det(u, v) = x₁.y₂ – x₂.y₁

وهذه القيمة تساوي مساحة متوازي الأضلاع المحصور بين المتجهتين u و v.

مثال 1:

احسب الجداء المتجهي للمتجهتين u = (3, 1) و v = (2, 5).

الحل: det(u, v) = 3×5 – 2×1 = 15 – 2 = 13

ثانياً: خصائص الجداء المتجهي

• تناوبي: det(u, v) = -det(v, u)
• خطي: det(au+bw, v) = a.det(u,v) + b.det(w,v)
• معدوم: det(u, v) = 0 إذا وفقط إذا كان u و v مرتبطين خطياً.
• المساحة: القيمة المطلقة |det(u, v)| تساوي مساحة متوازي الأضلاع المحصور بين u و v.

مثال 2:

أثبت أن المتجهتين u = (2, 4) و v = (1, 2) مرتبطتان خطياً.

الحل: det(u,v) = 2×2 – 1×4 = 4 – 4 = 0. إذاً u و v مرتبطان خطياً.

ثالثاً: تطبيقات الجداء المتجهي

• مساحة المثلث: مساحة المثلث ABC = (1/2)|det(AB, AC)|
• الاستقامة: ثلاث نقط A, B, C على استقامة واحدة إذا وفقط إذا كان det(AB, AC) = 0.
• التوازي: مستقيمان متوازيان إذا كان det(u, v) = 0.

تمارين تطبيقية

التمرين 1:

احسب مساحة المثلث الذي رؤوسه A(1, 2) و B(4, 3) و C(3, 6).

الحل: AB = (3, 1), AC = (2, 4)
det(AB, AC) = 3×4 – 2×1 = 12 – 2 = 10
المساحة = (1/2)×|10| = 5 وحدات مربعة.

التمرين 2:

بيّن أن النقط A(1, 1) و B(4, 3) و C(7, 5) على استقامة واحدة.

الحل: AB = (3, 2), AC = (6, 4)
det(AB, AC) = 3×4 – 6×2 = 12 – 12 = 0

الربط مع دروس أخرى

يمكنك مراجعة درس الجداء السلمي في المستوى للمقارنة بين نوعي الجداء، وكذلك درس الهندسة التحليلية: معادلة الدائرة لتطبيقات المتجهات في الهندسة.

📍 دروس مشابهة

• الدالة التآلفية
• التحويلات النقطية
• رتابة المتتاليات