نظرية الاحتمالات: المتغيرات العشوائية وتوزيعاتها – الرياضيات الجامعية

نظرية الاحتمالات: المتغيرات العشوائية وتوزيعاتها

نظرية الاحتمالات (Probability Theory) هي فرع من الرياضيات يدرس الظواهر العشوائية. المتغيرات العشوائية (Random Variables) هي أدوات أساسية في نظرية الاحتمالات والإحصاء. هذا الدرس مخصص لطلاب الرياضيات والإحصاء والعلوم التطبيقية.

أولاً: المتغير العشوائي

المتغير العشوائي هو دالة تعين قيمة عددية لكل نتيجة من نتائج تجربة عشوائية. أنواع المتغيرات العشوائية:

• متغير عشوائي منفصل (Discrete): يأخذ عدداً محدوداً من القيم مثل عدد مرات ظهور الكتاب عند رمي عملة
• متغير عشوائي متصل (Continuous): يأخذ عدداً غير محدود من القيم مثل طول الشخص أو وزنه

ثانياً: التوزيع الاحتمالي المنفصل

توزيع برنولي: تجربة ذات نتيجتين (نجاح/فشل).
التوزيع ذو الحدين: تكرار تجارب برنولي المستقلة X ~ B(n,p).
توزيع بواسون: لحساب عدد مرات حدوث حدث في فترة زمنية معينة.

ثالثاً: التوزيع الاحتمالي المتصل

التوزيع الطبيعي (Gaussian): أهم توزيع في الإحصاء، يرمز له N(μ,σ²). منحنى التوزيع الطبيعي على شكل جرس متماثل حول المتوسط μ.

مثال

إذا كان X ~ B(10, 0.5)، فما احتمال أن يكون X = 6؟
P(X=6) = C(10,6) × (0.5)⁶ × (0.5)⁴ = 210 × 0.015625 × 0.0625 ≈ 0.205

للاستزادة، راجع درس الاحتمال الشرطي ودرس مبادئ العد: التوافيق والتباديل.