المتتاليات الحسابية: الحد العام والمجموع – الرياضيات — السنة الثانية ثانوي (شعبة علوم تجريبية) — المنهاج الجزائري

المتتاليات الحسابية: الحد العام والمجموع

المتتالية الحسابية (Arithmetic Sequence) هي متتالية عددية يكون فيها الفرق بين كل حدين متتاليين ثابتاً. هذا الفرق الثابت يسمى أساس المتتالية (r). للمتتاليات الحسابية تطبيقات عديدة في الحياة اليومية مثل حساب الأقساط الشهرية والزيادات السنوية.

تعريف المتتالية الحسابية

نقول أن (Uₙ) متتالية حسابية إذا وجد عدد حقيقي r ثابت بحيث:
Uₙ₊₁ = Uₙ + r
حيث r هو أساس المتتالية الحسابية (Common Difference).

الحد العام للمتتالية الحسابية

إذا كان الحد الأول U₀ والأساس r، فإن الحد العام:
Uₙ = U₀ + n × r
وإذا كان الحد الأول هو U₁:
Uₙ = U₁ + (n-1) × r

مثال: متتالية حسابية حدها الأول U₀ = 3 وأساسها r = 4:
U₁ = 7, U₂ = 11, U₃ = 15, U₄ = 19, …

اتجاه تغير المتتالية الحسابية

• إذا كان r > 0: المتتالية متزايدة (كل حد أكبر من سابقه).
• إذا كان r < 0: المتتالية متناقصة (كل حد أصغر من سابقه).
• إذا كان r = 0: المتتالية ثابتة.

مجموع حدود متتالية حسابية

مجموع أول n حداً من متتالية حسابية:
Sₙ = n × (U₀ + Uₙ₋₁) / 2 أو Sₙ = n × (2U₀ + (n-1)r) / 2
بكلمات أخرى: مجموع الحدود = عدد الحدود × (مجموع الحد الأول والأخير) / 2.

مثال تطبيقي

متتالية حسابية حدها الأول U₁ = 7 وأساسها r = 3. احسب U₁₀ ومجموع الحدود العشرة الأولى:
1. U₁₀ = U₁ + 9r = 7 + 27 = 34.
2. S₁₀ = 10 × (7 + 34) / 2 = 10 × 41 / 2 = 205.
(تحقق بالجمع: 7+10+13+16+19+22+25+28+31+34 = 205).

تطبيق: الأقساط المتساوية

إذا ادخر شخص 500 دج في الشهر الأول ويزيد 100 دج كل شهر، فمقدار ما يدخره في الشهر العاشر هو: U₁₀ = 500 + 9×100 = 1400 دج. مجموع ما ادخره في 10 أشهر: S₁₀ = 10 × (500+1400)/2 = 9500 دج.

تمارين

1. متتالية حسابية حدها الأول 8 وأساسها -3. احسب U₅ و U₁₀.
2. متتالية حسابية حيث U₃ = 15 و U₇ = 31. احسب الحد الأول والأساس.
3. احسب مجموع الأعداد الزوجية من 2 إلى 100.
4. موظف يتقاضى راتباً سنوياً 240,000 دج مع زيادة سنوية 15,000 دج. كم سيكون راتبه بعد 5 سنوات؟

للمزيد من الدروس العلمية، راجع درس البيئة الصحراوية: تكيفات الكائنات الحية، كما يمكنك الاطلاع على التلوث وأنواعه وتأثيره على الصحة والبيئة.