الدوال اللوغاريتمية: تعريفها وخصائصها وتمثيلها – الرياضيات — السنة الثالثة ثانوي (شعبة علوم تجريبية) — المنهاج الجزائري

الدوال اللوغاريتمية: تعريفها وخصائصها وتمثيلها

الدوال اللوغاريتمية (Logarithmic Functions) هي الدوال العكسية للدوال الأسية. للوغاريتمات تطبيقات واسعة في العلوم والهندسة، من قياس شدة الزلازل (سلم ريختر) إلى قياس حموضة المحاليل (pH) وحساب الفوائد المركبة.

تعريف اللوغاريتم

إذا كان a > 0 و a ≠ 1، فإن لوغاريتم العدد x للأساس a هو الأس الذي يجب رفع a إليه لنحصل على x:
logₐ(x) = y ⇔ aʸ = x
مثال: log₂(8) = 3 لأن 2³ = 8.
اللوغاريتم الطبيعي (Natural Log) للأساس e: ln(x) = logₑ(x).
اللوغاريتم العشري للأساس 10: log(x) = log₁₀(x).

خصائص اللوغاريتمات

• logₐ(1) = 0
• logₐ(a) = 1
• logₐ(xy) = logₐ(x) + logₐ(y)
• logₐ(x/y) = logₐ(x) – logₐ(y)
• logₐ(xⁿ) = n × logₐ(x)
• logₐ(1/x) = -logₐ(x)
• تغيير الأساس: logₐ(x) = ln(x) / ln(a)

الدالة اللوغاريتمية

الدالة اللوغاريتمية للأساس a هي f(x) = logₐ(x). خصائصها:
– مجال التعريف: (0, +∞).
– المدى: ℝ.
– منحنيها يمر بالنقطة (1, 0).
– إذا كان a > 1: الدالة متزايدة.
– إذا كان 0 < a < 1: الدالة متناقصة.
– محور y (x = 0) خط مقارب عمودي.

مشتقة الدالة اللوغاريتمية

(ln x)’ = 1/x (لـ x > 0)
(logₐ x)’ = 1/(x ln a)

تطبيقات: سلم pH

pH = -log[H⁺] حيث [H⁺] تركيز أيونات الهيدروجين في المحلول.
إذا كان [H⁺] = 10⁻⁷ M، فإن pH = -log(10⁻⁷) = 7 (متعادل).
إذا كان [H⁺] = 10⁻³ M، فإن pH = 3 (حمضي).
إذا كان [H⁺] = 10⁻⁸ M، فإن pH = 8 (قاعدي).

تطبيقات: سلم ريختر

M = log(I/I₀) حيث M قوة الزلزال، I شدة الموجات الزلزالية، I₀ الشدة المرجعية.
زلزال بقوة 6 درجات أقوى 10 مرات من زلزال بقوة 5 درجات.

تمارين

1. احسب: log₂(16)، log₃(81)، log(1000)، ln(e⁵).
2. بسط: log₃(9) + log₃(27) – log₃(3).
3. حل المعادلة: log₂(x) + log₂(x-2) = 3.
4. محلول تركيز [H⁺] = 2.5×10⁻⁴ M. احسب pH هذا المحلول.

للمزيد من الدروس العلمية، راجع درس البيئة الصحراوية: تكيفات الكائنات الحية، كما يمكنك الاطلاع على النظام البيئي: مكوناته وتوازنه.