الرياضيات: المصفوفات والمحددات والتحويلات الخطية — المستوى الجامعي

مدخل إلى المصفوفات والتحويلات الخطية

الجبر الخطي (Linear Algebra) هو فرع أساسي من الرياضيات يهتم بدراسة المصفوفات والمحددات والفضاءات المتجهة والتحويلات الخطية. يعتبر الجبر الخطي أداة رياضية لا غنى عنها في العديد من المجالات التطبيقية كالهندسة وعلوم الحاسوب والفيزياء والاقتصاد.

المصفوفات

المصفوفة (Matrix) هي ترتيب مستطيل من الأعداد مرتبة في صفوف وأعمدة. يرمز للمصفوفة بحرف كبير مثل A، وتكتب عناصرها كالتالي: a_ij حيث i يمثل رقم الصف و j يمثل رقم العمود. تجرى على المصفوفات عمليات جمع وطرح وضرب، بالإضافة إلى عملية التحويل (Transpose) التي تقوم بتبديل الصفوف بالأعمدة. هناك أنواع خاصة من المصفوفات مثل المصفوفة المربعة والمصفوفة القطرية ومصفوفة الوحدة.

المحددات

المحدد (Determinant) هو عدد حقيقي يرتبط بالمصفوفات المربعة ويعطي معلومات مهمة عن خصائص المصفوفة. يحسب محدد المصفوفة 2×2 بالصيغة: det(A) = ad – bc. للمصفوفات الأكبر حجماً، يمكن حساب المحدد باستخدام طرق مثل طريقة التوسعة بالصغائر أو طريقة المصفوفة المثلثية. إذا كان محدد المصفوفة يساوي صفراً، فهي مصفوفة غير قابلة للعكس (شاذة).

التحويلات الخطية

التحويل الخطي (Linear Transformation) هو دالة تحافظ على عمليتي الجمع والضرب في القياسات. يمكن تمثيل كل تحويل خطي بمصفوفة، والعكس صحيح. من الأمثلة على التحويلات الخطية: الدوران (Rotation)، والانسحاب (Reflection)، والتمدد (Scaling)، والقص (Shear). تعتبر التحويلات الخطية أساسية في رسوميات الحاسوب والرؤية الحاسوبية.

للاستزادة في الرياضيات يمكن الاطلاع على درس المنطق الرياضي: القضايا والروابط المنطقية ودرس نظرية الاحتمالات: المتغيرات العشوائية والتوزيعات الاحتمالية.