المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: أنواعها وحلولها وتطبيقاتها – الرياضيات — السنة الثالثة ثانوي (شعبة علوم تجريبية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: أنواعها وحلولها وتطبيقاتها – الرياضيات

المعادلة التفاضلية هي معادلة تحتوي على دالة ومشتقاتها. تستخدم في نمذجة الظواهر الطبيعية كالاضمحلال الإشعاعي والنمو السكاني.

1. تعريف المعادلة التفاضلية

المعادلة التفاضلية من الرتبة الأولى هي معادلة تربط بين دالة (y) ومشتقتها (y′) والمتغير المستقل (x). الصيغة العامة: y′ = f(x, y).

2. المعادلة التفاضلية y′ = ay

حل المعادلة التفاضلية y′ = ay هو y(x) = C e^ax حيث C ثابت يحدد من الشروط البدائية.

مثال: إذا كانت y′ = 3y و y(0) = 5 فإن y(x) = 5e^3x.

تطبيق: الاضمحلال الإشعاعي N(t) = N₀ e^-λt.

3. المعادلة التفاضلية y′ = ay + b

الحل العام: y(x) = Ce^ax – b/a. حيث C ثابت.

4. المعادلات التفاضلية بفصل المتغيرات

يمكن كتابتها على الشكل g(y) dy = f(x) dx. ثم تكامل الطرفين لحلها.

5. تمارين تطبيقية

التمرين 1: حل المعادلة y′ = -2y حيث y(0) = 10.

التمرين 2: حل المعادلة y′ = 2y + 6.

التمرين 3: يضمحل عنصر مشع بمعدل يتناسب مع كتلته. إذا كانت الكتلة الابتدائية 100g وبعد سنة أصبحت 80g، أوجد الكتلة بعد 3 سنوات.

6. الحلول

حل 1: y(x) = 10e^-2x.

حل 2: y(x) = Ce^2x – 3.

حل 3: N(t) = N₀ e^-λt. 80 = 100e^-λ ⇒ λ = ln(100/80) = ln(1.25). N(3) = 100e^-3ln(1.25) = 51.2g.

للمزيد من الدروس راجع التناسبية والدوال الخطية ودرس الدوال المرجعية: دالة المربع والمقلوب.