المجموعات والمراجع في الرياضيات: مفهوم المجموعة والعمليات عليها — الأولى ثانوي

المجموعات والمراجع في الرياضيات

المجموعة هي مفهوم أساسي في الرياضيات، وتعني تجمّعاً لعناصر محددة تشترك في صفة معينة. نرمز للمجموعات عادة بالحروف الكبيرة A, B, C، وللعناصر بالحروف الصغيرة. إذا كان العنصر x ينتمي إلى المجموعة A نكتب x ∈ A، وإذا كان لا ينتمي نكتب x ∉ A.

طرق تعريف المجموعة

1. تعريف بالاستقراء (سرد العناصر): نذكر جميع عناصر المجموعة بين قوسين، مثل A = {1, 2, 3, 4, 5}.

2. تعريف بالاستيعاب (شرط مميز): نعطي الصفة التي تميز عناصر المجموعة، مثل B = {x / x عدد طبيعي زوجي أقل من 10}.

العمليات على المجموعات

الاتحاد (∪): A ∪ B هي مجموعة العناصر التي تنتمي إلى A أو B (أو كليهما).

التقاطع (∩): A ∩ B هي مجموعة العناصر التي تنتمي إلى A وB معاً.

الفرق (-): A – B هي مجموعة العناصر التي تنتمي إلى A ولا تنتمي إلى B.

المجموعة الشاملة (U): هي المجموعة التي تضم كل العناصر في مجال الدراسة، والمتممة (A’) هي مجموعة عناصر U التي لا تنتمي إلى A.

مجموعات عددية هامة

ℕ: مجموعة الأعداد الطبيعية {0, 1, 2, 3, …}

ℤ: مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}

𝔻: مجموعة الأعداد العشرية النسبية

ℚ: مجموعة الأعداد الناطقة (الكسرية)

ℝ: مجموعة الأعداد الحقيقية (تشمل ℚ والأعداد غير الناطقة)

تمارين تطبيقية

1. إذا كانت A = {1, 2, 3, 4, 5} و B = {3, 4, 5, 6, 7}، جد A ∪ B و A ∩ B و A – B.
2. أكتب مجموعة الأعداد الطبيعية المحصورة بين 5 و 15 بطريقتي الاستقراء والاستيعاب.
3. إذا كانت U = {1, 2, 3, …, 10} و A = {2, 4, 6, 8, 10}، جد متممة A.

للمزيد: المنطق الرياضي: العبارات والروابط المنطقية و النهايات والاستمرارية.