الرياضيات — المتراجحات من الدرجة الأولى بمجهول واحد — الرابعة متوسط — المنهاج الجزائري

الدرس: المتراجحات من الدرجة الأولى بمجهول واحد

1. مفهوم المتراجحة

المتراجحة (Inequality) هي علاقة بين مقدارين باستخدام أحد الرموز: < (أصغر من)، > (أكبر من)، ≤ (أصغر أو يساوي)، ≥ (أكبر أو يساوي). حل متراجحة يعني إيجاد مجموعة قيم المجهول التي تحقق المتراجحة. حل متراجحة من الدرجة الأولى هو نصف مستقيم. تمثيل الحل على مستقيم الأعداد.

2. خواص المتراجحات

خاصية 1: إضافة أو طرح نفس العدد من طرفي متراجحة لا يغير اتجاهها: a < b ⇒ a + c < b + c. خاصية 2: ضرب أو قسمة طرفي متراجحة على عدد موجب لا يغير اتجاهها: a < b و c > 0 ⇒ ac < bc. خاصية 3: ضرب أو قسمة طرفي متراجحة على عدد سالب يعكس اتجاهها: a < b و c < 0 ⇒ ac > bc. هذه الخاصية مهمة جداً وتسبب أخطاء كثيرة.

3. حل متراجحة من الدرجة الأولى

الخطوات: نجمع الحدود التي تحتوي المجهول في طرف والثوابت في الطرف الآخر. نقسم على معامل x مع الانتباه لعكس الإشارة إذا كان المعامل سالباً. مثال: 3x – 5 < 7. نضيف 5 للطرفين: 3x < 12. نقسم على 3: x < 4. حل المتراجحة: x ∈ ]-∞, 4[. مثال مع معامل سالب: -2x + 4 ≤ 10. -2x ≤ 6. بالقسمة على -2 (نعكس الإشارة): x ≥ -3.

4. تمثيل الحلول بيانياً

نرسم مستقيماً للأعداد ونضع النقطة الحدية (قيمة x التي تجعل الطرفين متساويين). نحدد المجموعة الحل على المستقيم. دائرة مفرغة ( ) لل < أو > ودائرة مصمتة (•) لل ≤ أو ≥. التظليل على يمين النقطة لل > وعلى يسارها لل <. مثال: x > 2: دائرة مفرغة عند 2 وتظليل لليمين. x ≤ -1: دائرة مصمتة عند -1 وتظليل لليسار.

5. مثال تطبيقي

حل المتراجحة: 5x + 3 ≥ 2x – 9 ثم مثل الحل على مستقيم الأعداد.

الحل: 5x – 2x ≥ -9 – 3 ← 3x ≥ -12 ← x ≥ -4. مجموعة الحل: x ∈ [-4, +∞[. على مستقيم الأعداد: دائرة مصمتة عند -4 وتظليل لليمين.

6. تمارين

التمرين الأول: حل المتراجحات: أ) 2x + 5 < 11. ب) -3x + 4 ≥ 10.

التمرين الثاني: حل المتراجحة: 4(x-2) > 2x + 6 ومثل الحل بيانياً.

للمزيد: درس الأعداد الطبيعية و درس القوى والجذور.