الرياضيات — الدوال: دراسة دالة كسرية منهجية كاملة — الثانية ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

الدوال: دراسة دالة كسرية منهجية كاملة

الدالة الكسرية هي دالة تكتب على شكل f(x) = P(x)/Q(x) حيث P و Q كثيرتا حدود و Q(x) ≠ 0. لدراسة دالة كسرية نتبع الخطوات التالية: مجموعة التعريف، الاشتقاق، دراسة الإشارة، الجدول، التمثيل البياني.

خطوات الدراسة

1. مجموعة التعريف: D = {x ∈ ℝ : Q(x) ≠ 0}. 2. حساب المشتقة f'(x) = (P’Q − PQ’)/Q². 3. إشارة f'(x) ورتابة الدالة. 4. النهايات عند حدود المجال. 5. المقاربات: شاقولية عند جذور Q، أفقية أو مائلة عندما x→±∞. 6. جدول التغيرات. 7. التمثيل البياني.

مثال

f(x) = (x+1)/(x−1): D = ℝ\{1}. f'(x) = ((1)(x−1) − (x+1)(1))/(x−1)² = −2/(x−1)² < 0. الدالة تناقصية على كل من ]−∞, 1[ و ]1, +∞[. مقارب شاقولي: x=1. مقارب أفقي: y=1 (لأن lim f(x) = 1 عند ±∞).

تمارين

1. ادرس الدالة f(x) = (2x+1)/(x−3).
2. ادرس الدالة f(x) = (x²+1)/(x−2).
3. ادرس الدالة f(x) = (x²−4)/(x²−1).

للمزيد: تطبيقات المشتقة و النهايات والاستمرارية.