الرياضيات — الاحتمالات: المتغير العشوائي والتوقع الرياضي — الثالثة ثانوي — المنهاج الجزائري

المتغير العشوائي والتوقع الرياضي

في هذا الدرس الخاص بالسنة الثالثة ثانوي، نتعرف على مفهوم المتغير العشوائي والتوقع الرياضي، وهما من أهم مفاهيم الاحتمالات المستخدمة في الإحصاء والاقتصاد.

أولا: المتغير العشوائي

المتغير العشوائي X هو متغير يأخذ قيما عددية نتيجة تجربة عشوائية. لكل قيمة x_i احتمال p_i حيث مجموع الاحتمالات يساوي 1.

مثال:

نرمي قطعة نقدية مرتين. المتغير X يمثل عدد مرات ظهور الوجه (P).

X ∈ {0, 1, 2}

P(X=0) = 1/4، P(X=1) = 1/2، P(X=2) = 1/4

ثانيا: قانون الاحتمال

قانون الاحتمال يحدد القيم الممكنة للمتغير العشوائي واحتمالاتها.

x_i	x_1	x_2	…	x_n
P(X=x_i)	p_1	p_2	…	p_n

ثالثا: التوقع الرياضي

التوقع الرياضي هو متوسط القيم المتوقعة للمتغير العشوائي.

التعريف: E(X) = Σ x_i · p_i

مثال:

من المثال السابق: E(X) = 0×(1/4) + 1×(1/2) + 2×(1/4) = 0 + 0.5 + 0.5 = 1

تمارين

1. صندوق يحتوي على 3 كرات حمراء وكرتين بيضاء. نسحب كرتين مع الإرجاع. متغير X يمثل عدد الكرات الحمراء. جد قانون الاحتمال ثم احسب E(X).
2. في لعبة حظ، تربح 500 دج إذا ظهر الرقم 6 على حجر النرد، وإلا تخسر 100 دج. هل اللعبة مربحة؟

للمزيد حول أساسيات الاحتمالات، راجع درس الاحتمالات: الحوادث والعمليات على الحوادث. كما يمكنك الاطلاع على الإحصاء: مقاييس النزعة المركزية.