الرياضيات — الدوال اللوغاريتمية: المعادلات والمتراجحات — الثالثة ثانوي — المنهاج الجزائري

المعادلات اللوغاريتمية والمتراجحات اللوغاريتمية

تعتبر الدوال اللوغاريتمية من أهم الدوال في الرياضيات للسنة الثالثة ثانوي. في هذا الدرس سنتعرف على كيفية حل المعادلات والمتراجحات اللوغاريتمية باستخدام الخصائص الأساسية للوغاريتمات.

أولا: تعريف اللوغاريتم

اللوغاريتم هو العملية العكسية للدالة الأسية. إذا كان a > 0 و a ≠ 1، فإن: log_a(x) = y ⇔ a^y = x حيث x > 0.

ثانيا: حل المعادلات اللوغاريتمية

خاصية: log_a(u) = log_a(v) ⇔ u = v مع u > 0 و v > 0

مثال 1:

حل المعادلة: log_2(x) = 3

الحل: x = 2^3 = 8

مثال 2:

حل المعادلة: ln(x+1) = 2

الحل: x+1 = e^2 ← x = e^2 – 1

ثالثا: حل المتراجحات اللوغاريتمية

عند حل متراجحة لوغاريتمية، نراعى اتجاه الدالة:

إذا كان a > 1: log_a(u) > log_a(v) ⇔ u > v

إذا كان 0 < a < 1: log_a(u) > log_a(v) ⇔ u < v

مثال 3:

حل المتراجحة: ln(x) > 3

الحل: x > e^3 مع x > 0

تمارين

1. حل المعادلات: log_3(2x-1) = 2، ln(x^2) = 4
2. حل المتراجحة: log_2(x+3) < 5
3. أوجد مجموعة تعريف الدالة: f(x) = ln(x^2 – 4x + 3)

للمزيد من المعلومات حول الدوال الأسية، راجع درس دراسة دالة: منهجية كاملة. كما يمكنك الاطلاع على النهايات: مفهوم نهاية دالة لتكملة معرفتك حول الدوال.