الرياضيات — تمارين محلولة في الهندسة التحليلية والمستوى المنسق — الأولى ثانوي (شعب علمية) — المنهاج الجزائري

تمارين محلولة في الهندسة التحليلية والمستوى المنسق

الهندسة التحليلية تدمج بين الجبر والهندسة باستخدام الإحداثيات، وهي أساسية في منهج الرياضيات للسنة الأولى ثانوي.

1. أساسيات المستوى المنسق

المستوى المنسق (الإحداثي) يتكون من محورين متعامدين: محور الفواصل (Ox) ومحور التراتيب (Oy). كل نقطة M تمثل بزوج (x,y). المسافة بين نقطتين: AB = sqrt((xB-xA)^2 + (yB-yA)^2). إحداثيات منتصف قطعة: ((xA+xB)/2, (yA+yB)/2).

2. أمثلة محلولة

مثال 1: A(2,3) و B(6,6). احسب المسافة AB و إحداثيات المنتصف. AB = sqrt((6-2)^2+(6-3)^2) = sqrt(16+9) = sqrt(25) = 5. المنتصف ((2+6)/2, (3+6)/2) = (4, 4.5).

مثال 2: أثبت أن المثلث A(1,1), B(4,1), C(1,5) قائم الزاوية. AB = sqrt(9+0)=3, AC = sqrt(0+16)=4, BC = sqrt(9+16)=5. 3^2+4^2=9+16=25=5^2. إذن المثلث قائم في A.

مثال 3: أوجد إحداثيات النقطة M على محور الفواصل بحيث MA = MB حيث A(1,2) و B(5,4). M(x,0). MA^2=(x-1)^2+4, MB^2=(x-5)^2+16. (x-1)^2+4=(x-5)^2+16. x^2-2x+1+4=x^2-10x+25+16. -2x+5=-10x+41. 8x=36. x=4.5. M(4.5,0).

3. تمارين

1. بين أن النقط A(2,1), B(5,5), C(8,1) تشكل مثلثا متساوي الساقين.
2. أوجد النقطة N على محور التراتيب بحيث تكون متساوية البعد عن A(3,2) و B(7,4).

4. ملخص

الهندسة التحليلية تسمح بحل مسائل هندسية بالطرق الجبرية، مما يبسط البراهين والحسابات.