الرياضيات — الأعداد المركبة: تمثيلها وعملياتها — الأولى ثانوي — المنهاج الجزائري

الأعداد المركبة: تمثيلها وعملياتها

الأعداد المركبة (Complex Numbers) هي أعداد من الشكل a + bi حيث a و b عددان حقيقيان و i = √(-1).

1. تعريف العدد المركب

العدد المركب z = a + bi: a هو الجزء الحقيقي (Re(z)) و b هو الجزء التخيلي (Im(z)). عندما b = 0 يكون العدد حقيقياً، وعندما a = 0 يكون العدد تخيلياً صرفاً.

2. العمليات على الأعداد المركبة

الجمع: (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
الطرح: (a+bi) – (c+di) = (a-c) + (b-d)i
الضرب: (a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i
القسمة: (a+bi)/(c+di) = [(a+bi)(c-di)]/(c²+d²)

3. تمثيل الأعداد المركبة

يمثل العدد المركب في المستوي العقدي بنقطة إحداثياتها (a, b). المسافة من الأصل تسمى المقياس |z| = √(a²+b²)، والزاوية تسمى السعة θ = arctan(b/a).

4. مثال تطبيقي

احسب (2+3i)(1-2i):
= 2(1) + 2(-2i) + 3i(1) + 3i(-2i)
= 2 – 4i + 3i – 6i² = 2 – i + 6 = 8 – i

دروس مشابهة

• دروس الرياضيات للشعب العلمية
• دروس العلوم الفيزيائية

تمارين إضافية

طبّق ما تعلمته:
1. احسب (3+4i) + (2-5i).
2. أوجد حاصل ضرب (1+i)(2-3i).
3. احسب مقياس العدد المركب z = 3+4i.
4. اكتب العدد (2+i)/(1-i) على الشكل a+bi.
5. حل المعادلة z² + 4 = 0 في مجموعة الأعداد المركبة.

للمزيد من التمارين والحلول، تابع دروسنا على الموقع.