التحليل الرياضي — التكامل: التكامل غير المحدد والمحدد وتقنيات التكامل — السنة الأولى جامعي — المنهاج الجزائري

مقدمة في التكامل

يعتبر التكامل العملية العكسية للاشتقاق، وهو أحد أهم فروع التحليل الرياضي. يستخدم التكامل لحساب المساحات والحجوم، وحل المعادلات التفاضلية، وتحليل الظواهر الطبيعية والهندسية.

التكامل غير المحدد

التكامل غير المحدد للدالة f(x) هو مجموعة جميع الدوال التي مشتقتها تساوي f(x). نكتب:

∫ f(x) dx = F(x) + C

حيث F'(x) = f(x) و C ثابت التكامل.

قواعد التكامل الأساسية

• تكامل الثابت: ∫ k dx = kx + C
• تكامل القوة: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ -1)
• تكامل المجموع: ∫ [f(x)+g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx
• تكامل الدالة الأسية: ∫ e^x dx = e^x + C

التكامل المحدد

يمثل التكامل المحدد للدالة f(x) على الفترة [a,b] المساحة المحصورة بين منحنى الدالة ومحور x:

∫_a^b f(x) dx = F(b) – F(a)

تقنيات التكامل

1. التكامل بالتعويض: نستخدم عندما يكون لدينا دالة ومشتقتها.
2. التكامل بالتجزئة: ∫ u·dv = u·v – ∫ v·du
3. التكامل بالكسور الجزئية: لتكامل الدوال النسبية.

أمثلة تطبيقية

مثال 1: احسب ∫ (3x² – 2x + 1) dx
الحل: x³ – x² + x + C

مثال 2: احسب ∫₀¹ x² dx
الحل: [x³/3]₀¹ = 1/3