التحليل الرياضي — الاشتقاق: تعريف المشتقة وقواعد الاشتقاق وتطبيقاته — السنة الأولى جامعي — المنهاج الجزائري

مفهوم الاشتقاق في التحليل الرياضي

الاشتقاق هو أحد المفاهيم المركزية في التحليل الرياضي، ويُستخدم لدراسة معدل تغير الدوال. يُعرف المشتق بأنه نهاية نسبة التغير عندما يؤول التغير في المتغير المستقل إلى الصفر.

تعريف المشتقة

إذا كانت f دالة معرفة على مجال مفتوح يحتوي على x، فإن مشتقة f عند x تعرف بالعلاقة:

f'(x) = lim_h→0 [f(x+h) – f(x)] / h

بشرط أن تكون هذه النهاية موجودة.

قواعد الاشتقاق الأساسية

• مشتقة الثابت: d/dx (c) = 0
• قاعدة القوة: d/dx (xⁿ) = n·x^n-1
• قاعدة الجداء: (f·g)’ = f’·g + f·g’
• قاعدة خارج القسمة: (f/g)’ = (f’·g – f·g’) / g²
• قاعدة السلسلة: (f∘g)'(x) = f'(g(x)) · g'(x)

التفسير الهندسي للمشتقة

هندسياً، تمثل المشتقة ميل المماس لمنحنى الدالة عند نقطة معينة. إذا كانت f'(x₀) > 0، تكون الدالة متزايدة عند x₀، وإذا كانت f'(x₀) < 0، تكون متناقصة.

أمثلة تطبيقية

مثال 1: جد مشتقة f(x) = x³ – 2x² + 5x – 3
الحل: f'(x) = 3x² – 4x + 5

مثال 2: جد مشتقة f(x) = sin(x²)
الحل: باستخدام قاعدة السلسلة: f'(x) = cos(x²) · 2x

تطبيقات الاشتقاق

يستخدم الاشتقاق في إيجاد القيم القصوى والصغرى للدوال، دراسة تغيرات الدوال ورسم المنحنيات، وفي الفيزياء لحساب السرعة والتسارع اللحظيين.