الإحصاء الرياضي — المتغيرات العشوائية: التوزيعات الاحتمالية المنفصلة والمستمرة — السنة الأولى جامعي — المنهاج الجزائري

مقدمة في المتغيرات العشوائية

المتغير العشوائي هو دالة تربط كل نتيجة من نتائج تجربة عشوائية بعدد حقيقي. ينقسم إلى نوعين: متغير عشوائي منفصل يأخذ قيماً معدودة، ومتغير عشوائي مستمر يأخذ قيماً متصلة في فترة معينة.

المتغير العشوائي المنفصل

يُعرف دالة الكتلة الاحتمالية (PMF) بـ P(X=x) التي تحقق:

• P(X=x) ≥ 0 لكل x
• Σ P(X=x) = 1

المتغير العشوائي المستمر

يُعرف دالة كثافة الاحتمال (PDF) f(x) التي تحقق:

• f(x) ≥ 0 لكل x
• ∫ f(x) dx = 1 على مجال الدالة
• P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx

التوزيعات الاحتمالية الهامة

التوزيعات المنفصلة: توزيع برنولي، التوزيع ذو الحدين B(n,p)، توزيع بواسون P(λ).

التوزيعات المستمرة: التوزيع المنتظم U(a,b)، التوزيع الطبيعي N(μ,σ²)، التوزيع الأسي Exp(λ).

أمثلة تطبيقية

مثال: إذا كان X ∼ B(5, 0.3)، احسب P(X=2).
الحل: P(X=2) = C(5,2) × (0.3)² × (0.7)³ = 10 × 0.09 × 0.343 = 0.3087