الرياضيات — النهايات: قواعد حساب النهايات — الأولى ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

النهايات: قواعد حساب النهايات

النهاية هي قيمة تقترب منها الدالة f(x) عندما يقترب المتغير x من قيمة معينة a. نكتب: lim_{x→a} f(x) = L.

قواعد أساسية لحساب النهايات

• نهاية دالة حدودية: lim_{x→a} P(x) = P(a) (بالتعويض المباشر)
• نهاية دالة كسرية: إذا كان المقام ≠ 0 عند a، فعوض مباشرة. إذا كان المقام = 0، نحلل البسط والمقام ونختزل.
• نهاية دالة جذرية: نضرب في المرافق إذا ظهرت حالة عدم تعيين.
• النهايات الشهيرة: lim_{x→0} sin(x)/x = 1، lim_{x→0} (e^x – 1)/x = 1

حالات عدم التعيين

هناك عدة حالات: 0/0، ∞/∞، 0 × ∞، ∞ – ∞، 0⁰، 1^∞، ∞⁰. كل حالة لها طريقة معالجة خاصة.

أمثلة تطبيقية

مثال 1: lim_{x→2} (x² – 4)/(x – 2)

الحل: حالة 0/0. نحلل البسط: x² – 4 = (x – 2)(x + 2). نختزل: lim_{x→2} (x + 2) = 4

مثال 2: lim_{x→+∞} (3x² – 2x + 1)/(x² + 5)

الحل: حالة ∞/∞. نقسم البسط والمقام على x²: lim_{x→+∞} (3 – 2/x + 1/x²)/(1 + 5/x²) = 3

تمارين مقترحة

1. lim_{x→1} (x³ – 1)/(x – 1)
2. lim_{x→0} (√(1 + x) – 1)/x
3. lim_{x→+∞} (2x + 3)/(x – 1)