الرياضيات — المتتالية الهندسية: تعريف وخصائص — الأولى ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

المتتالية الهندسية: تعريف وخصائص

المتتالية الهندسية هي متتالية عددية يكون فيها النسبة بين كل حدين متتاليين ثابتاً. هذه النسبة تسمى الأساس (q).

تعريف المتتالية الهندسية

نقول أن (U_n) متتالية هندسية إذا وجد عدد حقيقي q حيث: U_n+1 = U_n × q لكل n ∈ ℕ.

الحد العام

إذا كان الحد الأول U₀ معلوماً، فإن: U_n = U₀ × qⁿ

مجموع حدود متتالية هندسية

إذا كان q ≠ 1: S_n = U₀ + U₁ + … + U_n = U₀ × (1 – qⁿ⁺¹)/(1 – q)

أمثلة تطبيقية

مثال: متتالية هندسية U₀ = 3 و q = 2. أحسب U₆.

الحل: U₆ = 3 × 2⁶ = 3 × 64 = 192

مثال 2: أحسب S₅ للمتتالية السابقة.

الحل: S₅ = 3 × (1 – 2⁶)/(1 – 2) = 3 × (1 – 64)/(-1) = 3 × (-63)/(-1) = 189

تمارين مقترحة

1. متتالية هندسية U₁ = 6 و q = 3. أحسب U₅.
2. مجموع أول 4 حدود من متتالية هندسية هو 120 وأساسها 3. أحسب U₀.