الرياضيات — الدوال الأسية: المعادلات والمتراجحات الأسية — الثانية ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

الدوال الأسية: المعادلات والمتراجحات الأسية

مقدمة

المعادلات الأسية هي معادلات يكون فيها المجهول في الأس. لحلها نستخدم خصائص الدوال الأسية واللوغاريتمية.

تذكير بالدالة الأسية

الدالة الأسية f(x) = e^x معرفة على ℝ ومتزايدة تماماً. خصائصها: e^a+b = e^a × e^b، e^a-b = e^a/e^b، (e^a)^b = e^ab.

حل المعادلات الأسية

لحل معادلة أسية نستخدم: إذا كان e^A = e^B فإن A = B. مثال: e^3x-1 = e^x+5 → 3x-1 = x+5 → 2x = 6 → x = 3.

إذا كان الطرفان مختلفي الأساس نستخدم ln: e^2x = 5 → 2x = ln(5) → x = ln(5)/2.

المتراجحات الأسية

بما أن الدالة e^x متزايدة تماماً: إذا كان e^A > e^B فإن A > B. مثال: e^2x-1 < e^x+3 → 2x-1 < x+3 → x < 4.

تمارين

1. حل: e^x²-1 = e³
2. حل: 3^x = 81 (حوّل إلى الأساس 3)
3. حل المتراجحة: e^2x – 3e^x + 2 > 0 (استخدم t = e^x)

خلاصة

المعادلات الأسية تظهر في الفيزياء (التحلل الإشعاعي) والكيمياء (سرعة التفاعل) والاقتصاد (النمو). للمزيد: المعادلات والمتراجحات الأسية – الدوال اللوغاريتمية