الرياضيات — الدوال الأسية: تعريف وخصائص — الثانية ثانوي (شعب علمية) — المنهاج الجزائري

الدوال الأسية: تعريف وخصائص

الدالة الأسية (Exponential Function) هي واحدة من أهم الدوال في الرياضيات والعلوم، وتظهر في النمو السكاني، التحلل الإشعاعي، الفوائد المركبة، وغيرها.

الدالة الأسية الأساسية

الدالة الأسية الطبيعية: f(x) = eˣ
حيث e هو عدد أويلر (e ≈ 2.71828).
خصائصها: e⁰ = 1، e¹ = e، eˣ > 0 لكل x∈ℝ

خصائص الدالة الأسية

• eᵃ · eᵇ = eᵃ⁺ᵇ (مثال: e² · e³ = e⁵)
• eᵃ / eᵇ = eᵃ⁻ᵇ
• (eᵃ)ᵇ = eᵃᵇ
• مشتقة eˣ: (eˣ)’ = eˣ
• مشتقة eᵘ⁽ˣ⁾: (eᵘ)’ = u’ · eᵘ

مشتقة الدالة الأسية

مما يميز الدالة الأسية أن مشتقتها تساوي نفسها: d/dx(eˣ) = eˣ
هذه الخاصية تجعلها فريدة في التحليل الرياضي.

تطبيقات

مثال: النمو السكاني يمكن نمذجته بالدالة P(t) = P₀·eʳᵗ
حيث P₀ العدد الأولي، r معدل النمو، t الزمن.

تمرين

احسب مشتقة كل دالة:
1) f(x) = e³ˣ
2) f(x) = x² · eˣ
3) f(x) = eˣ / (x+1)

الحل: 1) f'(x) = 3e³ˣ. 2) f'(x) = 2x·eˣ + x²·eˣ = xeˣ(2+x). 3) f'(x) = (eˣ(x+1) – eˣ)/(x+1)² = xeˣ/(x+1)²

يمكنك الاطلاع أيضاً على درس مشابه: الاشتقاق لمزيد من المعلومات.

يمكنك الاطلاع أيضاً على درس مشابه: النهايات والاستمرارية لمزيد من المعلومات.

???? دروس مشابهة

• علوم الطبيعة والحياة — الدم: مكونات ووظائف — الأولى ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري
• الرياضيات — المستقيمات المتوازية والمتعامدة — السنة الأولى متوسط — المنهاج الجزائري
• علوم الطبيعة والحياة — التكنولوجيا الحيوية: الأدوية واللقاحات — الثالثة ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزا