بنك الأسئلة التربوية (1) — تلاميذ الثالثة ثانوي (شعبة علوم تجريبية) — الرياضيات (80 سؤالاً)

الجزء الأول: النهايات والاستمرارية (الأسئلة 1–10)

\n\n

\n
1. السؤال 1: احسب النهاية التالية: lim(x→2) (x² – 4)/(x – 2)\n
   الجواب: نلاحظ أن المقدار غير معرف عند x=2 (0/0). نحلل البسط: x² – 4 = (x-2)(x+2). إذن: lim(x→2) (x-2)(x+2)/(x-2) = lim(x→2) (x+2) = 4.

\n\n

2. السؤال 2: اذكر شرط استمرارية دالة f عند نقطة x₀.\n
   الجواب: الدالة f مستمرة عند x₀ إذا تحقق: 1) f معرفة عند x₀. 2) نهاية f عند x₀ موجودة ومنتهية. 3) نهاية f عند x₀ تساوي f(x₀). أي: lim(x→x₀) f(x) = f(x₀).

\n\n

3. السؤال 3: احسب النهاية: lim(x→+∞) (3x² – 2x + 1)/(x² + 5x – 3)\n
   الجواب: بقسمة البسط والمقام على x²: lim(x→+∞) (3 – 2/x + 1/x²)/(1 + 5/x – 3/x²) = 3/1 = 3.

\n\n

4. السؤال 4: هل الدالة f(x) = 1/(x-1) مستمرة على المجال [0,3]؟\n
   الجواب: الدالة غير معرفة عند x=1 (مقام يساوي صفر). إذن الدالة غير مستمرة على المجال [0,3] لوجود نقطة عدم تعريف فيها.

\n\n

5. السؤال 5: احسب النهاية: lim(x→0) sin(3x)/x\n
   الجواب: باستخدام الخاصية: lim(x→0) sin(kx)/x = k. إذن: lim(x→0) sin(3x)/x = 3.

\n\n

6. السؤال 6: باستخدام نظرية القيم المتوسطة، بين أن المعادلة x³ – 3x + 1 = 0 تقبل حلاً في المجال [0,1].\n
   الجواب: الدالة f(x) = x³ – 3x + 1 مستمرة على [0,1]. f(0) = 1 > 0، f(1) = -1 < 0. بما أن الإشارة تغيرت، حسب نظرية القيم المتوسطة، يوجد c ∈ ]0,1[ حيث f(c) = 0.

\n\n

7. السؤال 7: احسب النهاية: lim(x→0) (e^x – 1)/x\n
   الجواب: نعلم أن lim(x→0) (e^x – 1)/x = 1. هذه نهاية أساسية في الاشتقاق (مشتقة الدالة الأسية).

\n\n

8. السؤال 8: ما هي أنواع نقط عدم الاستمرارية؟\n
   الجواب: ثلاثة أنواع: 1) عدم استمرارية قابل للإزالة (النهاية موجودة ولكن الدالة غير معرفة أو f(x₀) ≠ النهاية). 2) عدم استمرارية من النوع الأول (نهايتان يمين ويسار موجودتان ومنتهيتان ولكن مختلفتان). 3) عدم استمرارية من النوع الثاني (إحدى النهايتين أو كلاهما غير منتهية أو غير موجودة).

\n\n

9. السؤال 9: احسب النهاية: lim(x→1) (ln x)/(x-1)\n
   الجواب: نضع t = x – 1 → إذن x = t + 1، وعندما x→1 يكون t→0. lim(t→0) ln(1+t)/t = 1 (نهاية أساسية).

\n\n

10. السؤال 10: احسب النهاية: lim(x→+∞) √(x² + 3x) – x\n
    الجواب: نضرب في المرافق: lim(x→+∞) ( (x²+3x) – x² ) / (√(x²+3x) + x) = lim(x→+∞) 3x / (√(x²+3x) + x) = lim(x→+∞) 3 / (√(1+3/x) + 1) = 3/(1+1) = 3/2.

\n

\n\n

الجزء الثاني: الاشتقاق ودراسة الدوال (الأسئلة 11–20)

\n\n

\n
11. السؤال 11: أحسب مشتقة الدالة f(x) = x³ – 5x² + 7x – 2\n
    الجواب: f'(x) = 3x² – 10x + 7.

\n\n

12. السؤال 12: أحسب مشتقة الدالة f(x) = (2x + 1)/(x – 3)\n
    الجواب: باستخدام قاعدة مشتقة خارج القسمة: f'(x) = [2(x-3) – (2x+1)(1)] / (x-3)² = [2x – 6 – 2x – 1] / (x-3)² = -7/(x-3)².

\n\n

13. السؤال 13: أحسب مشتقة الدالة f(x) = e^(2x) · sin(3x)\n
    الجواب: باستخدام قاعدة مشتقة جداء: f'(x) = 2e^(2x)·sin(3x) + e^(2x)·3cos(3x) = e^(2x)[2sin(3x) + 3cos(3x)].

\n\n

14. السؤال 14: أحسب مشتقة الدالة f(x) = ln(x² + 1)\n
    الجواب: f'(x) = (2x)/(x² + 1).

\n\n

15. السؤال 15: أوجد معادلة المماس للمنحني f(x) = x² – 3x + 1 عند النقطة ذات الفاصلة x₀ = 2.\n
    الجواب: f(2) = 4 – 6 + 1 = -1. f'(x) = 2x – 3 → f'(2) = 1. معادلة المماس: y – f(2) = f'(2)(x – 2) → y + 1 = 1(x – 2) → y = x – 3.

\n\n

16. السؤال 16: لتكن f(x) = x³ – 3x + 2. أحسب إشارة f'(x) واستنتج اتجاه تغير f.\n
    الجواب: f'(x) = 3x² – 3 = 3(x² – 1) = 3(x-1)(x+1). f'(x) = 0 ⇔ x = -1 أو x = 1. إشارة f'(x): موجبة على ]-∞, -1[ ∪ ]1, +∞[ (f متزايدة)، سالبة على ]-1, 1[ (f متناقصة).

\n\n

17. السؤال 17: عين النقط الحرجة للدالة f(x) = x⁴ – 4x³\n
    الجواب: f'(x) = 4x³ – 12x² = 4x²(x – 3). النقط الحرجة: f'(x) = 0 ⇔ x = 0 أو x = 3.

\n\n

18. السؤال 18: أحسب المشتقة الثانية للدالة f(x) = e^(-x²)\n
    الجواب: f'(x) = -2x·e^(-x²). f”(x) = -2e^(-x²) + 4x²·e^(-x²) = 2e^(-x²)(2x² – 1).

\n\n

19. السؤال 19: لتكن f(x) = x³ – 3x. عين نقط الانعطاف إن وجدت.\n
    الجواب: f'(x) = 3x² – 3. f”(x) = 6x. f”(x) = 0 ⇔ x = 0. عند x = 0 تغير f” إشارتها (سالبة قبل 0، موجبة بعد 0). إذن x = 0 نقطة انعطاف.

\n\n

20. السؤال 20: دالة معرفة بـ f(x) = x³ + ax² + bx + c. إذا كان f(1) = 0 و f'(1) = 0 و f(-1) = 4، أوجد a, b, c.\n
    الجواب: f(1) = 1 + a + b + c = 0 → a + b + c = -1. f'(x) = 3x² + 2ax + b → f'(1) = 3 + 2a + b = 0 → 2a + b = -3. f(-1) = -1 + a – b + c = 4 → a – b + c = 5. بحل الجملة: من الأولى والثالثة: (a+b+c) – (a-b+c) = -1 – 5 → 2b = -6 → b = -3. من الثانية: 2a – 3 = -3 → a = 0. من الأولى: 0 – 3 + c = -1 → c = 2.

\n

\n\n

الجزء الثالث: التكامل وحساب المساحات (الأسئلة 21–30)

\n\n

\n
21. السؤال 21: أحسب التكامل: ∫(3x² – 2x + 1) dx\n
    الجواب: ∫3x² dx – ∫2x dx + ∫1 dx = x³ – x² + x + C.

\n\n

22. السؤال 22: أحسب التكامل المحدد: ∫₁³ (2x + 3) dx\n
    الجواب: [x² + 3x]₁³ = (9 + 9) – (1 + 3) = 18 – 4 = 14.

\n\n

23. السؤال 23: أحسب: ∫₀^π/2 cos x dx\n
    الجواب: [sin x]₀^π/2 = sin(π/2) – sin(0) = 1 – 0 = 1.

\n\n

24. السؤال 24: أحسب التكامل: ∫e^(3x) dx\n
    الجواب: ∫e^(3x) dx = (1/3)e^(3x) + C.

\n\n

25. السؤال 25: أحسب: ∫₁^e (1/x) dx\n
    الجواب: [ln x]₁^e = ln(e) – ln(1) = 1 – 0 = 1.

\n\n

26. السؤال 26: أحسب المساحة المحصورة بين المنحنيين y = x² و y = x في المجال [0,1].\n
    الجواب: المساحة = ∫₀¹ (x – x²) dx = [x²/2 – x³/3]₀¹ = (1/2 – 1/3) = 1/6 وحدة مربعة.

\n\n

27. السؤال 27: أحسب التكامل بالتجزئة: ∫x·e^x dx\n
    الجواب: نضع u = x → du = dx، dv = e^x dx → v = e^x. إذن ∫x·e^x dx = x·e^x – ∫e^x dx = x·e^x – e^x + C = e^x(x – 1) + C.

\n\n

28. السؤال 28: أحسب: ∫₀¹ x/(x² + 1) dx\n
    الجواب: نضع u = x² + 1 → du = 2x dx → x dx = du/2. التكامل: ∫₀¹ x/(x²+1) dx = (1/2)∫₁² du/u = (1/2)[ln u]₁² = (1/2)(ln 2 – ln 1) = (1/2)ln 2.

\n\n

29. السؤال 29: ما هو حجم الجسم الناتج عن دوران المنحني y = √x حول محور الفواصل بين x = 0 و x = 4؟\n
    الجواب: V = π∫₀⁴ (√x)² dx = π∫₀⁴ x dx = π[x²/2]₀⁴ = π(16/2) = 8π وحدة حجم.

\n\n

30. السؤال 30: أحسب: ∫₀^π x·sin x dx\n
    الجواب: تكامل بالتجزئة: u = x → du = dx، dv = sin x dx → v = -cos x. ∫x·sin x dx = -x·cos x + ∫cos x dx = -x·cos x + sin x + C. إذن: ∫₀^π x·sin x dx = [-x·cos x + sin x]₀^π = (-π·cos π + sin π) – (0 + 0) = (-π·(-1)) = π.

\n

\n\n

الجزء الرابع: الأعداد المركبة والمتتاليات (الأسئلة 31–40)

\n\n

\n
31. السؤال 31: حل في ℂ المعادلة: z² + 4 = 0\n
    الجواب: z² = -4 → z = ±2i (حيث i = √-1).

\n\n

32. السؤال 32: حل في ℂ المعادلة: z² – 2z + 5 = 0\n
    الجواب: المميز: Δ = (-2)² – 4(1)(5) = 4 – 20 = -16 = (4i)². الحلان: z = (2 ± 4i)/2 = 1 ± 2i.

\n\n

33. السؤال 33: اكتب العدد المركب z = 1 + i√3 على الشكل المثلثي.\n
    الجواب: |z| = √(1 + 3) = 2. cos θ = 1/2، sin θ = √3/2 → θ = π/3. إذن: z = 2(cos π/3 + i sin π/3).

\n\n

34. السؤال 34: أحسب: (1 + i)^8\n
    الجواب: نكتب 1+i على الشكل المثلثي: |1+i| = √2، θ = π/4. إذن 1+i = √2(cos π/4 + i sin π/4). (1+i)^8 = (√2)^8 (cos 2π + i sin 2π) = 16(1 + 0) = 16.

\n\n

35. السؤال 35: عين طبيعة المتتالية (u_n) حيث u_n = 3n² – 2n + 1\n
    الجواب: u_n ليس على شكل an + b (متتالية حسابية) ولا على شكل ar^n (متتالية هندسية). نحسب الفرق: u_{n+1} – u_n = 3(n+1)² – 2(n+1) + 1 – (3n² – 2n + 1) = 6n + 1 (ليس ثابتاً). النسبة: u_{n+1}/u_n ليس ثابتاً. إذن المتتالية ليست حسابية ولا هندسية.

\n\n

36. السؤال 36: متتالية حسابية حدها الأول u₀ = 5 وأساسها r = 3. أحسب u₁₀.\n
    الجواب: u_n = u₀ + n·r → u₁₀ = 5 + 10×3 = 5 + 30 = 35.

\n\n

37. السؤال 37: متتالية هندسية حدها الأول u₀ = 2 وأساسها q = 3. أحسب u₅ ومجموع الحدود من u₀ إلى u₅.\n
    الجواب: u_n = u₀·q^n → u₅ = 2×3⁵ = 2×243 = 486. المجموع: S₆ = u₀(1 – q^6)/(1 – q) = 2(1 – 729)/(1 – 3) = 2(-728)/(-2) = 728.

\n\n

38. السؤال 38: لتكن (u_n) متتالية معرفة بـ u_{n+1} = 2u_n + 1، u₀ = 0. أحسب u₁ و u₂ و u₃ ثم استنتج صيغة عامة.\n
    الجواب: u₁ = 2×0 + 1 = 1. u₂ = 2×1 + 1 = 3. u₃ = 2×3 + 1 = 7. نلاحظ أن u_n = 2^n – 1 (يمكن الإثبات بالتراجع).

\n\n

39. السؤال 39: أحسب نهاية المتتالية (u_n) حيث u_n = (2n + 1)/(3n – 2)\n
    الجواب: lim(n→∞) (2n + 1)/(3n – 2) = lim(n→∞) (2 + 1/n)/(3 – 2/n) = 2/3.

\n\n

40. السؤال 40: متتالية (u_n) معرفة بـ u_n = n²/2^n. أدرس تقارب المتتالية.\n
    الجواب: ندرس النسبة: u_{n+1}/u_n = ((n+1)²/2^(n+1)) / (n²/2^n) = (n+1)²/(2n²). lim(n→∞) (n+1)²/(2n²) = 1/2 < 1. إذن المتتالية متقاربة نحو 0 (لأن النسبة تؤول إلى 1/2 < 1).

\n

\n

? بنوك أسئلة مشابهة:

\n

\n
• بنك الأسئلة التربوية (2) — المقبلون على مسابقات التربية — الديداك

\n

• بنك الأسئلة التربوية (1) — المقبلون على مسابقات التربية — علوم ال

\n

• بنك الأسئلة التربوية (95) — للتلاميذ — تقنيات التعلم الفعال ومهار

\n

\n