الرياضيات الجامعية — الجبر الخطي: المحددات وحل جمل المعادلات الخطية

المحددات وحل جمل المعادلات الخطية

المحدد (Determinant) هو قيمة عددية تُحسب من مصفوفة مربعة، وله تطبيقات مهمة في الجبر الخطي خاصة في حل جمل المعادلات الخطية. يُرمز لمحدد المصفوفة A بالرمز det(A) أو |A|.

حساب المحددات

محدد مصفوفة 2×2:
إذا كانت A = [a b; c d]، فإن det(A) = ad – bc.
مثال: A = [3 4; 2 1] → det(A) = 3 × 1 – 4 × 2 = 3 – 8 = -5

محدد مصفوفة 3×3:
يمكن حسابه باستخدام قاعدة ساروس (Sarrus Rule) أو النشر باستخدام العوامل الصغرى (cofactor expansion).

قاعدة كرامر (Cramer Rule)

تستخدم قاعدة كرامر لحل جملة معادلات خطية من n معادلة في n مجهول باستخدام المحددات. إذا كانت الجملة هي AX = B حيث A مصفوفة المعاملات، فإن:

x_i = det(A_i) / det(A)

حيث A_i هي المصفوفة الناتجة عن استبدال العمود i في A بمصفوفة الثوابت B.

مثال تطبيقي

لحل الجملة:
2x + y = 5
x – 3y = -1

A = [2 1; 1 -3], det(A) = 2×(-3) – 1×1 = -7
A₁ = [5 1; -1 -3], det(A₁) = 5×(-3) – 1×(-1) = -14
A₂ = [2 5; 1 -1], det(A₂) = 2×(-1) – 5×1 = -7

x = -14/-7 = 2, y = -7/-7 = 1

تطبيقات المحددات

تستخدم المحددات في حساب معكوس المصفوفات، تحديد قابلية الانعكاس، وحساب المساحات والحجوم في الفضاء. للمزيد من دروس الرياضيات، زوروا درس جملة معادلتين و درس نظرية فيثاغورس.

📍 **مواضيع مشابهة:**
– [الاحتمالات والتوزيعات الاحتمالية — إحصاء جامعي](/?p=112564)
– [الكون والمجموعة الشمسية: النشأة والتطور — علم فلك جامعي](/?p=112563)
– [المعادن والصخور: التصنيف والخواص — جيولوجيا جامعية](/?p=112562)
– [المناهج التعليمية: الأسس والتصميم — علوم تربية جامعية](/?p=112559)

📍 أخبار مشابهة:

• منصة PROGRES للتسجيلات الجامعية 2026: دليل شامل للتسجيل النهائي خطو…
• الفلسفة الجامعية — نظرية المعرفة: مصادر المعرفة الإنسانية
• وزير التربية الوطنية يستقبل كاتب الدولة المكلف بالجالية الوطنية بال…

📍 دروس مشابهة:

• موضوع امتحان بكالوريا 2024 في اللغة العربية مع الحل – شعبة آداب وفلسفة
• الموجات الكهرومغناطيسية — أنواعها واستخداماتها — العلوم الفيزيائية — السنة الرابعة متوسط — المنهاج الجزائري
• اللغة الفرنسية – Les lettres de l’alphabet (A à H) – السنة الأولى إبتدائي – المنهاج الجزائري