بنك الأسئلة التربوية (2) — تلاميذ الأولى متوسط — الرياضيات (80 سؤالاً)

السؤال 1: ما هي الأعداد الطبيعية؟ وما هي الأعداد العشرية؟ أعط أمثلة.

الإجابة: الأعداد الطبيعية هي الأعداد التي تستخدم في العد والترتيب، وهي مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة (0، 1، 2، 3، 4، …). مثال: 5، 12، 100. الأعداد العشرية هي الأعداد التي تحتوي على فاصلة عشرية وتتكون من جزء صحيح وج part عشري. مثال: 3.14، 7.5، 0.25. يمكن كتابة الأعداد العشرية على شكل كسور عشرية: 3.14 = 314/100.

السؤال 2: كيف نجمع الأعداد العشرية؟ اشرح مع مثال.

الإجابة: لجمع الأعداد العشرية نتبع الخطوات التالية: 1- نرتب الأعداد بحيث تكون الفواصل العشرية تحت بعضها البعض. 2- نضيف أصفاراً إلى اليمين عند الحاجة لضمان تساوي عدد الأرقام العشرية. 3- نجمع الأرقام في كل منزلة كالمعتاد. 4- نضع الفاصلة العشرية في النتيجة تحت الفواصل الأخرى. مثال: 12.5 + 3.75 = ? نكتب: 12.50 + 3.75 = 16.25 (نجمع: 0+5=5، 5+7=12 نكتب 2 ونحتفظ بـ1، 2+3+1=6، 1+0=1، النتيجة: 16.25).

السؤال 3: اشرح عملية طرح الأعداد العشرية مع مثال.

الإجابة: لطرح الأعداد العشرية: 1- نرتب الأعداد عمودياً بحيث تكون الفواصل تحت بعضها. 2- نضيف أصفاراً عند الحاجة. 3- نطرح من اليمين إلى اليسار، مع الاستلاف عند الحاجة. 4- نضع الفاصلة في النتيجة. مثال: 15.3 – 7.85 = ? نكتب: 15.30 – 7.85 = 7.45 (نطرح: 0-5 لا يمكن، نستلف 1 من 3 فتصبح 10-5=5، ثم 2-8 لا يمكن نستلف 1 من 5 فتصبح 12-8=4، ثم 4-7 لا يمكن نستلف 1 من 1 فتصبح 14-7=7، ثم 0-0=0، النتيجة: 7.45).

السؤال 4: ما هو مضاعف عدد؟ وكيف نحسب مضاعفات العدد 6؟

الإجابة: مضاعف العدد هو ناتج ضرب هذا العدد في أي عدد طبيعي. نقول إن العدد A هو مضاعف للعدد B إذا كان A = B × k حيث k عدد طبيعي. مضاعفات العدد 6 هي: 6 × 0 = 0، 6 × 1 = 6، 6 × 2 = 12، 6 × 3 = 18، 6 × 4 = 24، 6 × 5 = 30، 6 × 6 = 36، … وهكذا. إذن مضاعفات 6 هي: 0، 6، 12، 18، 24، 30، 36، 42، 48، … ملاحظة: كل عدد له عدد لا نهائي من المضاعفات.

السؤال 5: ما هو قاسم عدد؟ وكيف نحسب قواسم العدد 12؟

الإجابة: قاسم العدد هو عدد طبيعي يقسم هذا العدد دون باقٍ. نقول إن العدد D قاسم للعدد A إذا كان A ÷ D = عدد طبيعي (الباقي يساوي صفر). قواسم العدد 12: 1 (لأن 12÷1=12)، 2 (12÷2=6)، 3 (12÷3=4)، 4 (12÷4=3)، 6 (12÷6=2)، 12 (12÷12=1). إذن قواسم 12 هي: {1، 2، 3، 4، 6، 12}. لكل عدد مجموعة من القواسم، وأصغر قاسم هو 1 دائماً، وأكبر قاسم هو العدد نفسه.

السؤال 6: كيف نميز بين العدد الأولي والعدد غير الأولي؟ أعط أمثلة.

الإجابة: العدد الأولي هو عدد طبيعي أكبر من 1 وله قاسمان فقط: 1 والعدد نفسه. أمثلة: 2 (قواسمه: 1، 2)، 3 (1، 3)، 5 (1، 5)، 7 (1، 7)، 11 (1، 11)، 13 (1، 13)، 17 (1، 17)، 19 (1، 19). العدد غير الأولي (المركب) هو عدد له أكثر من قاسمين. أمثلة: 4 (قواسمه: 1، 2، 4)، 6 (1، 2، 3، 6)، 8 (1، 2، 4، 8)، 9 (1، 3، 9)، 10 (1، 2، 5، 10). ملاحظة: العدد 1 ليس أولياً ولا مركباً.

السؤال 7: اشرح قاعدة القسمة على 2، 3، 5، و10.

الإجابة: القسمة على 2: العدد يقبل القسمة على 2 إذا كان رقم آحاده زوجياً (0، 2، 4، 6، 8). مثال: 24، 136. القسمة على 3: العدد يقبل القسمة على 3 إذا كان مجموع أرقامه يقبل القسمة على 3. مثال: 123 (1+2+3=6، 6 يقبل القسمة على 3). القسمة على 5: العدد يقبل القسمة على 5 إذا كان رقم آحاده 0 أو 5. مثال: 35، 120. القسمة على 10: العدد يقبل القسمة على 10 إذا كان رقم آحاده 0. مثال: 50، 340. هذه القواعد تساعد في الحساب الذهني السريع.

السؤال 8: رتب الأعداد التالية تصاعدياً ثم تنازلياً: 145.7، 145.07، 154.7، 145.17.

الإجابة: الترتيب التصاعدي (من الأصغر إلى الأكبر): أولاً نقارن الأجزاء الصحيحة: 145.07، 145.17، 145.7، 154.7. (145.07 < 145.17 < 145.7 < 154.7). الترتيب التنازلي (من الأكبر إلى الأصغر): 154.7، 145.7، 145.17، 145.07. شرح المقارنة: نبدأ بمقارنة الجزء الصحيح، فنجد أن 154.7 هو الأكبر. ثم نقارن بين الأعداد التي جزؤها الصحيح 145: ننظر إلى الجزء العشري: 0.07 < 0.17 < 0.70. لذلك يكون الترتيب كما ذكرنا.

السؤال 9: حوّل الأعداد التالية إلى كسور: 0.75، 2.5، 0.125.

الإجابة: لتحويل عدد عشري إلى كسر: 1- نكتب العدد بدون فاصلة في البسط. 2- نكتب في المقام 1 متبوعاً بعدد من الأصفار يساوي عدد الأرقام بعد الفاصلة. 3- نبسط الكسر إن أمكن. 0.75 = 75/100 = 15/20 = 3/4 (بالقسمة على 25). 2.5 = 25/10 = 5/2 (بالقسمة على 5). 0.125 = 125/1000 = 25/200 = 5/40 = 1/8 (بالقسمة على 125). إذاً: 0.75 = 3/4، 2.5 = 5/2، 0.125 = 1/8.

السؤال 10: احسب: (15 + 3.5) × 2 – 4.5 ÷ 1.5

الإجابة: نتبع أولوية العمليات الحسابية (الأقواس أولاً، ثم الضرب والقسمة، ثم الجمع والطرح): الخطوة 1: (15 + 3.5) = 18.5. الخطوة 2: الضرب: 18.5 × 2 = 37. الخطوة 3: القسمة: 4.5 ÷ 1.5 = 3. الخطوة 4: الطرح: 37 – 3 = 34. إذن ناتج العملية = 34. تذكر دائماً قاعدة أولويات العمليات: الأقواس ← الأسس ← الضرب والقسمة ← الجمع والطرح.

السؤال 11: ما هو الكسر؟ وما هي أجزاؤه؟

الإجابة: الكسر هو عدد يمثل جزءاً من كل أو جزءاً من مجموعة. يتكون الكسر من: 1- البسط وهو الجزء العلوي من الكسر، ويدل على عدد الأجزاء المأخوذة. 2- المقام وهو الجزء السفلي من الكسر، ويدل على عدد الأجزاء الكلية المتساوية التي قسم إليها الكل. مثال: في الكسر 3/5، البسط = 3، المقام = 5، ويعني “3 أجزاء من 5 أجزاء متساوية”. يقرأ الكسر: “ثلاثة أخماس”. المقام لا يمكن أن يكون صفراً لأن القسمة على صفر غير معرفة.

السؤال 12: كيف نجمع كسرين لهما نفس المقام؟ أعط مثالاً.

الإجابة: لجمع كسرين لهما نفس المقام، نجمع البسطين ونحتفظ بالمقام نفسه. الصيغة: a/c + b/c = (a+b)/c. مثال: 2/7 + 3/7 = (2+3)/7 = 5/7. مثال آخر: 4/9 + 2/9 = 6/9 ويمكن تبسيط الناتج بقسمة البسط والمقام على 3 = 2/3. ملاحظة: يجب أن يكون المقام مشتركاً بين الكسرين، وإذا لم يكن كذلك، نوحد المقامات أولاً ثم نجمع.

السؤال 13: كيف نطرح كسرين مختلفي المقام؟ اشرح مع مثال.

الإجابة: لطرح كسرين مختلفي المقام: 1- نبحث عن المقام المشترك الأصغر (م.م.أ) للمقامين. 2- نحول كلاً من الكسرين إلى كسرين مكافئين لهما نفس المقام (المقام المشترك). 3- نطرح البسطين ونحتفظ بالمقام المشترك. 4- نبسط الناتج إن أمكن. مثال: 5/6 – 1/4 = ? المقام المشترك الأصغر للعددين 6 و 4 هو 12. نحول: 5/6 = (5×2)/(6×2) = 10/12، و1/4 = (1×3)/(4×3) = 3/12. الآن: 10/12 – 3/12 = 7/12. الناتج: 7/12 (لا يمكن تبسيطه أكثر).

السؤال 14: اشرح عملية ضرب الكسور مع مثال.

الإجابة: لضرب كسرين، نضرب البسط في البسط والمقام في المقام. الصيغة: a/b × c/d = (a×c)/(b×d). يمكن أن نبسط قبل الضرب أو بعد الضرب. مثال: 2/3 × 4/5 = (2×4)/(3×5) = 8/15. مثال مع التبسيط: 3/4 × 2/9 = (3×2)/(4×9) = 6/36 = 1/6 (بالقسمة على 6). أو نبسط قبل الضرب: نختصر 3 مع 9 (نقسم على 3) و2 مع 4 (نقسم على 2): 1/2 × 1/3 = 1/6. ضرب الكسور أبسط من جمعها وطرحها لأننا لا نحتاج لتوحيد المقامات.

السؤال 15: كيف نقسم كسراً على كسر آخر؟

الإجابة: لقسمة كسر على كسر آخر، نضرب الكسر الأول في مقلوب الكسر الثاني. مقلوب الكسر a/b هو b/a (نبدل البسط والمقام). الصيغة: (a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c) = (a×d)/(b×c). مثال: 2/3 ÷ 4/5 = 2/3 × 5/4 = (2×5)/(3×4) = 10/12 = 5/6. مثال آخر: 7/8 ÷ 3/4 = 7/8 × 4/3 = (7×4)/(8×3) = 28/24 = 7/6. تذكر: القسمة على كسر تعني الضرب في مقلوبه.

السؤال 16: ما هو الكسر المكافئ؟ وكيف نحصل عليه؟

الإجابة: الكسور المكافئة هي كسور مختلفة في البسط والمقام ولكنها تساوي القيمة نفسها. نحصل على كسر مكافئ لكسر معين بضرب أو قسمة البسط والمقام على العدد نفسه (غير الصفر). مثال: 1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 = 5/10 (ضربنا البسط والمقام في 2، 3، 4، 5 على التوالي). للتحقق من تكافؤ كسرين a/b و c/d، نضرب الطرفين في الوسطين: a×d = b×c. مثال: 2/3 و 4/6: 2×6 = 12، 3×4 = 12، إذن الكسران مكافئان.

السؤال 17: كيف نبسط كسراً إلى أبسط صورة؟

الإجابة: لتبسيط كسر إلى أبسط صورة (كسر غير قابل للاختزال): 1- نجد القاسم المشترك الأكبر (ق.م.أ) للبسط والمقام. 2- نقسم البسط والمقام على هذا القاسم. مثال: بسط الكسر 12/18. قواسم 12: 1، 2، 3، 4، 6، 12. قواسم 18: 1، 2، 3، 6، 9، 18. القاسم المشترك الأكبر = 6. نقسم: 12÷6 = 2، 18÷6 = 3. إذاً 12/18 = 2/3 (أبسط صورة). طريقة أخرى: نقسم تدريجياً على الأعداد الأولية حتى لا نجد قاسماً مشتركاً.

السؤال 18: حوّل الأعداد الكسرية التالية إلى كسور عادية: (2 و1/3)، (3 و2/5).

الإجابة: العدد الكسري (mixed number) يتكون من جزء صحيح وكسر. لتحويله إلى كسر عادي: نضرب الجزء الصحيح في المقام ثم نضيف البسط، ونضع الناتج في البسط مع الاحتفاظ بنفس المقام. 2 و1/3: = (2×3 + 1)/3 = (6+1)/3 = 7/3. 3 و2/5: = (3×5 + 2)/5 = (15+2)/5 = 17/5. للتحويل العكسي (من كسر عادي إلى عدد كسري): نقسم البسط على المقام، الخارج هو الجزء الصحيح، والباقي هو بسط الكسر مع نفس المقام.

السؤال 19: رتب الكسور التالية تصاعدياً: 1/2، 3/4، 2/3، 5/8.

الإجابة: لترتيب الكسور، نستخدم المقام المشترك الأصغر. المقام المشترك الأصغر للأعداد 2، 4، 3، 8 هو 24. نحول كل كسر: 1/2 = 12/24، 3/4 = 18/24، 2/3 = 16/24، 5/8 = 15/24. الآن رتب تصاعدياً بمقارنة البسط: 12 < 15 < 16 < 18. إذن الترتيب التصاعدي: 1/2 ← 5/8 ← 2/3 ← 3/4. تحقق: 1/2 = 0.5، 5/8 = 0.625، 2/3 ≈ 0.666، 3/4 = 0.75. صحيح.

السؤال 20: احسب: (3/4 + 1/2) × 2/3 – 1/6

الإجابة: نتبع أولويات العمليات: الخطوة 1: نعمل داخل القوس: 3/4 + 1/2. نوحد المقامات: 1/2 = 2/4. إذاً 3/4 + 2/4 = 5/4. الخطوة 2: الضرب: (5/4) × (2/3) = (5×2)/(4×3) = 10/12 = 5/6. الخطوة 3: الطرح: 5/6 – 1/6 = 4/6 = 2/3. إذن الناتج النهائي = 2/3.

السؤال 21: ما هي أنواع الزوايا؟ اذكرها مع قياساتها.

الإجابة: أنواع الزوايا حسب قياسها: 1- الزاوية الحادة: قياسها أكبر من 0° وأقل من 90° (مثل: 30°، 45°). 2- الزاوية القائمة: قياسها 90° تماماً. 3- الزاوية المنفرجة: قياسها أكبر من 90° وأقل من 180° (مثل: 120°). 4- الزاوية المستقيمة: قياسها 180° تماماً (ضلعاها على استقامة واحدة). 5- الزاوية الغير محدبة (المنعكسة): قياسها أكبر من 180° وأقل من 360°. 6- الزاوية الكاملة: قياسها 360° (دورة كاملة).

السؤال 22: ما هي خصائص المربع؟

الإجابة: المربع هو شكل رباعي منتظم له الخصائص التالية: 1- الأضلاع: جميع أضلاعه الأربعة متساوية في الطول. 2- الزوايا: جميع زواياه الأربع قائمة (كل زاوية = 90°). 3- القطران: قطراه متساويان في الطول، وينصف كل منهما الآخر، ويتعامدان على بعضهما. 4- محيطه: محيط المربع = 4 × طول الضلع. 5- مساحته: مساحة المربع = (طول الضلع)². 6- التناظر: للمربع 4 محاور تناظر (خطوط تماثل). المربع هو حالة خاصة من المستطيل والمعين.

السؤال 23: اشرح الفرق بين المستطيل والمعين.

الإجابة: المستطيل: شكل رباعي زواياه الأربع قائمة (90°). أضلاعه المتقابلة متوازية ومتساوية. قطراه متساويان في الطول وينصف كل منهما الآخر. محيطه = 2×(الطول + العرض)، مساحته = الطول × العرض. المعين: شكل رباعي جميع أضلاعه الأربعة متساوية في الطول. زواياه المتقابلة متساوية (ليست بالضرورة قائمة). قطراه متعامدان وينصف كل منهما الآخر، لكنهما غير متساويين. محيطه = 4 × طول الضلع، مساحته = (حاصل ضرب القطرين) ÷ 2. المستطيل يختلف عن المعين في أن زواياه كلها قائمة.

السؤال 24: كيف نحسب محيط الدائرة ومساحتها؟

الإجابة: لحساب محيط الدائرة ومساحتها نستخدم الثابت π (باي) الذي يساوي تقريباً 3.14. محيط الدائرة = 2 × π × نصف القطر (r)، أو = π × القطر (d). مثال: دائرة نصف قطرها 5 سم، محيطها = 2 × 3.14 × 5 = 31.4 سم. مساحة الدائرة = π × (نصف القطر)² = π × r². مثال: نفس الدائرة، مساحتها = 3.14 × 5² = 3.14 × 25 = 78.5 سم². ملاحظة: يمكنك استخدام π = 22/7 في بعض الحالات للتبسيط.

السؤال 25: ما هي المثلثات؟ وكيف تصنف حسب الأضلاع؟

الإجابة: المثلث هو شكل هندسي له 3 أضلاع و3 زوايا، مجموع زواياه = 180°. تصنيف المثلثات حسب الأضلاع: 1- مثلث متساوي الأضلاع: جميع أضلاعه متساوية، وجميع زواياه متساوية (كل زاوية = 60°). 2- مثلث متساوي الساقين: له ضلعان متساويان في الطول، والزاويتان المقابلتان لهما متساويتان. 3- مثلث مختلف الأضلاع: جميع أضلاعه مختلفة في الطول، وجميع زواياه مختلفة في القياس. يمكن أيضاً تصنيف المثلثات حسب الزوايا (حاد، قائم، منفرج).

السؤال 26: اشرح نظرية فيثاغورس مع مثال.

الإجابة: نظرية فيثاغورس تطبق على المثلث القائم الزاوية ONLY. تنص النظرية على: “في المثلث القائم الزاوية، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين (ضلعي القائمة)”. الصيغة: (الوتر)² = (الضلع الأول)² + (الضلع الثاني)². مثال: مثلث قائم الزاوية طول ضلعيه 3 سم و 4 سم. الوتر² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25. إذاً الوتر = √25 = 5 سم. ملاحظة: الوتر هو أطول ضلع في المثلث القائم ويقابل الزاوية القائمة.

السؤال 27: كيف نحسب مساحة المثلث؟

الإجابة: مساحة المثلث تحسب بالصيغة: المساحة = (1/2) × طول القاعدة × الارتفاع. حيث القاعدة هي أحد أضلاع المثلث، والارتفاع هو المسافة العمودية من الرأس المقابل للقاعدة إلى الخط الذي يحوي القاعدة. مثال: مثلث طول قاعدته 8 سم وارتفاعه 5 سم، مساحته = (1/2) × 8 × 5 = 20 سم². إذا كان المثلث قائم الزاوية، يمكن اعتبار ضلعي القاعدة كقاعدة وارتفاع. مثال: مثلث قائم طول ضلعيه 6 سم و 10 سم، مساحته = (1/2) × 6 × 10 = 30 سم².

السؤال 28: ما هو متوازي الأضلاع؟ وما هي خصائصه؟

الإجابة: متوازي الأضلاع هو شكل رباعي فيه كل ضلعين متقابلين متوازيان. خصائصه: 1- الأضلاع: كل ضلعين متقابلين متساويان في الطول. 2- الزوايا: كل زاويتين متقابلتين متساويتان في القياس، وكل زاويتين متتاليتين مجموعهما 180°. 3- القطران: ينصف كل منهما الآخر (يتقاطعان في نقطة هي منتصف كل قطر). 4- القاعدة: أي ضلع يمكن اعتباره قاعدة. 5- المساحة: مساحة متوازي الأضلاع = طول القاعدة × الارتفاع. 6- المحيط: محيط متوازي الأضلاع = 2×(مجموع طولي ضلعين متجاورين).

السؤال 29: احسب مساحة شبه منحرف طول قاعدتيه 6 سم و 10 سم وارتفاعه 4 سم.

الإجابة: شبه المنحرف هو شكل رباعي فيه ضلعان متوازيان فقط (يسميان القاعدتين). مساحة شبه المنحرف = (1/2) × (مجموع طولي القاعدتين) × الارتفاع. حيث الارتفاع هو المسافة العمودية بين القاعدتين. التطبيق: مساحة شبه المنحرف = (1/2) × (6 + 10) × 4 = (1/2) × 16 × 4 = 8 × 4 = 32 سم². إذن مساحة شبه المنحرف = 32 سنتيمتراً مربعاً. تذكر: القاعدتان هما الضلعان المتوازيان في شبه المنحرف.

السؤال 30: ما هي أنواع المثلثات حسب الزوايا؟

الإجابة: تصنف المثلثات حسب الزوايا إلى ثلاثة أنواع: 1- مثلث حاد الزوايا: جميع زواياه الثلاث أقل من 90° (حادة). مثال: مثلث زواياه 50°، 60°، 70°. 2- مثلث قائم الزاوية: لديه زاوية واحدة قائمة (90°) والزاويتان الأخريان حادتان ومجموعهما 90°. مثال: مثلث زواياه 90°، 30°، 60°. 3- مثلث منفرج الزاوية: لديه زاوية واحدة منفرجة (أكبر من 90° وأقل من 180°) والزاويتان الأخريان حادتان. مثال: مثلث زواياه 100°، 40°، 40°. تذكر أن مجموع زوايا أي مثلث = 180° دائماً.

السؤال 31: ما هو التوازي؟ وما هي خصائص المستقيمين المتوازيين؟

الإجابة: المستقيمان المتوازيان هما مستقيمان يقعان في المستوى نفسه ولا يلتقيان مهما امتدا. خصائصهما: 1- إذا قطع قاطع (مستقيم ثالث) مستقيمين متوازيين، فإن الزوايا المتناظرة تكون متساوية. 2- الزوايا الداخلية المتبادلة تكون متساوية. 3- الزوايا الداخلية في جهة واحدة من القاطع تكون متكاملة (مجموعهما 180°). 4- المستقيمان الموازيان لمستقيم ثالث يكونان متوازيين. 5- المسافة بين مستقيمين متوازيين ثابتة. نرمز للتوازي بـ // (مثل: AB // CD).

السؤال 32: ارسم شكلاً يوضح زاويتين متجاورتين وزاويتين متقابلتين بالرأس، ثم اشرح العلاقة بينهما.

الإجابة: الزاويتان المتجاورتان: هما زاويتان تشتركان في الرأس وفي أحد الضلعين، وتقعان على جهتي الضلع المشترك. مجموع قياس الزاويتين المتجاورتين على مستقيم = 180° (متكاملتان). الزاويتان المتقابلتان بالرأس: هما زاويتان تشتركان في الرأس ولكن ضلعي كل منهما هما امتداد لضلعي الأخرى. الزوايا المتقابلة بالرأس متساوية في القياس دائماً. مثال: إذا تقاطع مستقيمان في نقطة، تتكون أربع زوايا: كل زاويتين متقابلتين بالرأس متساويتان، وكل زاويتين متجاورتين متكاملتان (مجموعهما 180°).

السؤال 33: ما هي التناسبية؟ اشرح مع مثال.

الإجابة: التناسبية هي علاقة بين كميتين حيث تتغير إحداهما بتغير الأخرى بنسبة ثابتة. نقول إن الكميتين متناسبتان إذا كانت النسبة بينهما ثابتة. مثال: إذا كان ثمن 3 أقلام هو 150 ديناراً، فما ثمن 5 أقلام (نفس النوع)؟ نجد ثمن القلم الواحد = 150 ÷ 3 = 50 ديناراً. إذاً ثمن 5 أقلام = 5 × 50 = 250 ديناراً. هنا العلاقة بين عدد الأقلام والثمن هي علاقة تناسب طردي: كلما زاد عدد الأقلام زاد الثمن بنسبة ثابتة (معامل التناسب = 50).

السؤال 34: كيف نستخدم “قاعدة الثالث” (الضرب التبادلي) في التناسبية؟

الإجابة: قاعدة الثالث (أو الضرب التبادلي) تستخدم لحساب القيمة المجهولة في تناسبية. في الجدول التناسبي، نضرب القيمتين المعروفتين في القطر ونقسم على القيمة الثالثة. مثال: إذا كانت 4 كتب ثمنها 600 دينار، فما ثمن 7 كتب؟ نكتب: 4 كتب ← 600 دينار، 7 كتب ← x دينار. بما أن العلاقة تناسب طردي: x = (7 × 600) ÷ 4 = 4200 ÷ 4 = 1050 ديناراً. القاعدة العامة: a/b = c/d ← a×d = b×c (الضرب التبادلي).

السؤال 35: اشرح الفرق بين الكمية المتناسبة طرداً والكمية المتناسبة عكساً.

الإجابة: التناسب الطردي: عندما تزيد إحدى الكميتين تزيد الأخرى بنفس النسبة، وعندما تنقص إحداهما تنقص الأخرى بنفس النسبة. مثال: عدد العمال وكمية الإنتاج (كلما زاد العمال زاد الإنتاج). الصيغة: y = kx (حيث k ثابت التناسب). التناسب العكسي: عندما تزيد إحدى الكميتين تنقص الأخرى بنفس النسبة، والعكس صحيح. مثال: عدد العمال والزمن اللازم لإنجاز عمل (كلما زاد العمال قل الزمن). الصيغة: y = k/x (حيث k ثابت). الفرق الجوهري: في الطردي، ضرب الكميتين غير ثابت، بينما في العكسي، حاصل ضربهما ثابت.

السؤال 36: إذا كانت 3 آلات تنتج 150 قطعة في 5 ساعات، فكم قطعة تنتجها 5 آلات في 8 ساعات؟

الإجابة: هذه مسألة تناسب مركب. نستخدم طريقة الوحدة: الخطوة 1: إنتاج آلة واحدة في 5 ساعات = 150 ÷ 3 = 50 قطعة. الخطوة 2: إنتاج آلة واحدة في ساعة واحدة = 50 ÷ 5 = 10 قطع. الخطوة 3: إنتاج 5 آلات في ساعة واحدة = 5 × 10 = 50 قطعة. الخطوة 4: إنتاج 5 آلات في 8 ساعات = 50 × 8 = 400 قطعة. إذن 5 آلات تنتج 400 قطعة في 8 ساعات. يمكن حل المسألة باستخدام التناسب المركب أيضاً.

السؤال 37: كيف نحسب السرعة المتوسطة؟ اشرح مع مثال.

الإجابة: السرعة المتوسطة هي المسافة المقطوعة في وحدة الزمن. الصيغة: السرعة المتوسطة = المسافة الكلية ÷ الزمن الكلي. الوحدات الشائعة: km/h (كيلومتر في الساعة) أو m/s (متر في الثانية). مثال: سيارة قطعت مسافة 240 كيلومتراً في 3 ساعات. سرعتها المتوسطة = 240 ÷ 3 = 80 km/h. مثال آخر: عداء قطع 100 متر في 10 ثوانٍ. سرعته = 100 ÷ 10 = 10 m/s. وحدات السرعة: m/s أو km/h. للتحويل: 1 m/s = 3.6 km/h.

السؤال 38: إذا كانت سرعة قطار 120 km/h، كم يقطع من المسافة في 45 دقيقة؟

الإجابة: أولاً نحول 45 دقيقة إلى ساعات: 45 دقيقة = 45/60 = 3/4 ساعة = 0.75 ساعة. المسافة = السرعة × الزمن = 120 × 0.75 = 90 كيلومتراً. إذاً يقطع القطار 90 كيلومتراً في 45 دقيقة. طريقة أخرى: 120 km/h تعني 120 كم في 60 دقيقة، إذن في دقيقة واحدة = 120 ÷ 60 = 2 كم. وفي 45 دقيقة = 45 × 2 = 90 كم. تذكر العلاقة الأساسية: المسافة = السرعة × الزمن، ويمكن إعادة ترتيبها لإيجاد السرعة أو الزمن.

السؤال 39: ما هي النسبة المئوية؟ وكيف نحسبها؟

الإجابة: النسبة المئوية هي نسبة مقامها 100، وتكتب باستخدام الرمز %. تعني النسبة المئوية X% أن لدينا X من كل 100. لحساب النسبة المئوية لعدد من عدد آخر: (العدد الأول ÷ العدد الثاني) × 100%. مثال: إذا نجح 45 تلميذاً من أصل 60 تلميذاً، فالنسبة المئوية للنجاح = (45 ÷ 60) × 100% = 0.75 × 100% = 75%. لحساب قيمة نسبة مئوية من عدد: (النسبة ÷ 100) × العدد. مثال: 20% من 300 = (20/100) × 300 = 60. النسب المئوية تستخدم كثيراً في التجارة والإحصاء.

السؤال 40: اشترى تاجر سلعة بـ 2500 دينار وأراد ربحاً بنسبة 15%، فما هو ثمن البيع؟

الإجابة: لحساب ثمن البيع مع الربح: الخطوة 1: نحسب قيمة الربح = (النسبة ÷ 100) × ثمن الشراء = (15 ÷ 100) × 2500 = 0.15 × 2500 = 375 ديناراً. الخطوة 2: ثمن البيع = ثمن الشراء + الربح = 2500 + 375 = 2875 ديناراً. إذاً يبيع التاجر السلعة بـ 2875 ديناراً لتحقيق ربح 15%. يمكن حساب ثمن البيع مباشرة: ثمن البيع = ثمن الشراء × (1 + نسبة الربح/100) = 2500 × (1 + 0.15) = 2500 × 1.15 = 2875 ديناراً. وفي حالة الخسارة: ثمن البيع = ثمن الشراء × (1 – نسبة الخسارة/100).