الإحصاء — نظرية الاحتمالات: المتغيرات العشوائية — السنة الأولى جامعي — الرياضيات والإعلام الآلي — النظام الجامعي الجزائري

نظرية الاحتمالات: المتغيرات العشوائية

نظرية الاحتمالات (Probability Theory) هي فرع الرياضيات الذي يدرس الظواهر العشوائية وتحليل الأحداث غير المؤكدة. تُستخدم على نطاق واسع في الإحصاء، الفيزياء، الاقتصاد، الذكاء الاصطناعي، وغيرها من المجالات.

المفاهيم الأساسية للاحتمالات

الفراغ العيني (Sample Space – S): مجموعة جميع النتائج الممكنة لتجربة عشوائية. مثال: في رمي حجر نرد، S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
الحدث (Event – E): مجموعة جزئية من الفراغ العيني. مثال: ظهور عدد زوجي E = {2, 4, 6}.
الاحتمال (Probability): P(E) = عدد نتائج الحدث / عدد نتائج الفراغ العيني (في الفضاء المتساوي الاحتمال).

المتغير العشوائي (Random Variable)

المتغير العشوائي هو دالة تعين قيمة عددية لكل نتيجة في الفراغ العيني. يُرمز له عادة بأحرف كبيرة X, Y, Z. نوعان:

1. المتغير العشوائي المنفصل (Discrete Random Variable): يأخذ قيماً معدودة (منفصلة). مثال: عدد مرات ظهور الصورة عند رمي قطعة نقود 3 مرات (X = 0, 1, 2, 3).
• دالة الاحتمال الكتلي (Probability Mass Function – PMF): P(X = x).
• القيمة المتوقعة (Expected Value): E(X) = Σ(x × P(X = x)).
• التباين (Variance): Var(X) = E[(X – μ)²] = E(X²) – μ².

2. المتغير العشوائي المستمر (Continuous Random Variable): يأخذ قيماً غير معدودة (ضمن فترة). مثال: وزن طفل حديث الولادة.
• دالة الكثافة الاحتمالية (Probability Density Function – PDF): P(a ≤ X ≤ b) = ∫ₐᵇ f(x)dx.
• دالة التوزيع التراكمي (CDF): F(x) = P(X ≤ x).

التوزيعات الاحتمالية الشهيرة

التوزيع ذو الحدين (Binomial Distribution): X ~ B(n, p). عدد النجاحات في n تجربة مستقلة.
التوزيع الطبيعي (Normal Distribution): X ~ N(μ, σ²). التوزيع الأكثر أهمية في الإحصاء، منحنى الجرس. حوالي 68% من القيم تقع ضمن ±σ من المتوسط.

مثال: إذا كان 10% من المنتجات معيبة، وسحبنا عينة عشوائية من 5 منتجات. احتمال وجود 2 معيبين بالضبط: P(X=2) = C(5,2) × (0.1)² × (0.9)³ = 0.0729.

للمزيد حول هذا الموضوع، يمكنكم الاطلاع على درس الإحصاء الوصفي والاستدلالي ودرس أساليب أخذ العينات.