الرياضيات — المعادلات من الدرجة الثانية: المميز Δ وطبيعة الحلول — الأولى ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

المعادلات من الدرجة الثانية: المميز Δ (دلتا)

المعادلة من الدرجة الثانية تكتب على الشكل: ax² + bx + c = 0 حيث a ≠ 0. تعتبر من أهم أنواع المعادلات لأنها تظهر في العديد من التطبيقات العلمية والهندسية والفيزيائية. طريقة المميز Δ هي الطريقة العامة لحلها.

المميز Δ (Discriminant)

المميز Δ يحسب بالصيغة: Δ = b² – 4ac. حسب إشارة Δ نحدد عدد وطبيعة الحلول.

• Δ > 0: حلان حقيقيان مختلفان: x₁ = (-b – √Δ)/(2a) و x₂ = (-b + √Δ)/(2a)
• Δ = 0: حل مزدوج (حل واحد): x₀ = -b/(2a)
• Δ < 0: لا توجد حلول حقيقية (حلان عقديان مترافقان)

حالات خاصة

b = 0: ax² + c = 0 → x² = -c/a (حلول حسب إشارة -c/a)

c = 0: ax² + bx = 0 → x(ax + b) = 0 → x = 0 أو x = -b/a

أمثلة تطبيقية

مثال 1: حل المعادلة 2x² – 5x + 3 = 0

a=2, b=-5, c=3 → Δ = 25 – 24 = 1 > 0 → x₁ = (5-1)/4 = 1, x₂ = (5+1)/4 = 3/2

مثال 2: حل المعادلة x² + 2x + 1 = 0 → Δ = 4 – 4 = 0 → x₀ = -1 (حل مزدوج)

مثال 3: حل المعادلة x² + x + 1 = 0 → Δ = 1 – 4 = -3 < 0 → لا توجد حلول حقيقية

تمارين

1. حل المعادلات: x² – 9 = 0, x² + 5x = 0, 3x² + x – 2 = 0
2. أوجد قيمة m التي تجعل للمعادلة x² – 2mx + 1 = 0 حلاً مزدوجاً
3. حل المعادلة: 2x² – 3x + 5 = 0 وحدد طبيعة الحلول
4. حل: (x-1)(x+2) = 4 (حولها أولاً للشكل العام)

خلاصة

طريقة Δ هي الطريقة العامة لحل أي معادلة من الدرجة الثانية. تذكّر الصيغة: x = (-b ± √Δ)/(2a) عندما Δ ≥ 0. إشارة Δ تحدد عدد الحلول وطبيعتها. معادلات الدرجة الثانية أساسية لدراسة الدوال التربيعية وحل مسائل فيزيائية وهندسية.

📍 دروس مشابهة

• 📘 الكتلة الحجمية والكثافة: مفهومها وقانونها ووحدات القياس مع تمارين محلولة — العلو
• 📘 العلاقات الغذائية في النظام البيئي – الأولى ثانوي – السنة الأولى ثان
• 📘 مشكلة العنف واللاعنف في الفلسفة: تحليل فلسفي مع مواقف الفلاسفة (غاندي، فانون، أر