الرياضيات — الزوايا الموجهة: القياس الرئيسي والزوايا المتكافئة — الأولى ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

القياس الرئيسي للزاوية الموجهة والزوايا المتكافئة

الزاوية الموجهة لها عدد لا نهائي من القياسات تختلف بمضاعفات 2π (دورة كاملة). القياس الرئيسي هو القياس المحصور بين 0 و 2π (أو بين -π و π حسب الاصطلاح). هذا المفهوم أساسي لفهم الدوال المثلثية وحل المعادلات المثلثية.

القياس الرئيسي للزاوية الموجهة

لكل زاوية موجهة θ مجموعة من القياسات تكتب: θ = θ₀ + 2kπ حيث k ∈ ℤ و θ₀ هو القياس الرئيسي. يكون θ₀ ∈ [0, 2π[ أو θ₀ ∈ ]-π, π] حسب الاصطلاح المستخدم.

لإيجاد القياس الرئيسي: نقسم الزاوية على 2π، ونأخذ الباقي. مثال: θ = 7π/3 = 2π + π/3 → θ₀ = π/3

الزوايا المتكافئة

زاويتان θ₁ و θ₂ متكافئتان إذا كان: θ₁ – θ₂ = 2kπ (حيث k ∈ ℤ). للزوايا المتكافئة نفس النسب المثلثية: sin(θ₁) = sin(θ₂), cos(θ₁) = cos(θ₂), tan(θ₁) = tan(θ₂).

صيغ الاختزال (Formules de réduction)

• sin(π – θ) = sin(θ), cos(π – θ) = -cos(θ)
• sin(π + θ) = -sin(θ), cos(π + θ) = -cos(θ)
• sin(-θ) = -sin(θ), cos(-θ) = cos(θ)
• sin(π/2 – θ) = cos(θ), cos(π/2 – θ) = sin(θ)
• sin(π/2 + θ) = cos(θ), cos(π/2 + θ) = -sin(θ)

أمثلة تطبيقية

مثال 1: القياس الرئيسي لـ 9π/4: 9π/4 = 2π + π/4 → θ₀ = π/4

مثال 2: احسب sin(5π/6): 5π/6 = π – π/6 → sin(5π/6) = sin(π/6) = 1/2

مثال 3: احسب cos(7π/4) = cos(2π – π/4) = cos(π/4) = √2/2

تمارين

1. أوجد القياس الرئيسي لكل من: 11π/3, -5π/4, 13π/6
2. احسب باستخدام صيغ الاختزال: sin(150°), cos(240°), tan(315°)
3. بين أن الزاويتين π/3 و 7π/3 متكافئتان
4. احسب sin(7π/6) + cos(5π/3) – tan(3π/4)

خلاصة

الزوايا المتكافئة وصيغ الاختزال أدوات قوية لحساب النسب المثلثية لأي زاوية. تذكّر: إضافة أو طرح 2π ينتج زاوية متكافئة. صيغ الاختزال تسمح بإرجاع أي زاوية إلى زاوية حادة في الربع الأول.

📍 دروس مشابهة

• 📘 الإعلام الآلي — العتاد (Hardware): مكونات الحاسوب المادية (المعالج، الذاكرة، الل
• 📘 English — Making Suggestions and Giving Advice: Let’s, How about, Why don&
• 📘 أساسيات البرمجة بلغة Pascal — هيكل البرنامج والمتغيرات والثوابت — الأولى ثانوي (