الرياضيات — التكامل: تعريف وطرق الحساب — الثالثة ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

التكامل هو مفهوم رياضي أساسي يرتبط ارتباطاً وثيقاً بالاشتقاق. يستخدم لحساب المساحات والحجوم والكميات الفيزيائية المختلفة.

1. تعريف التكامل

إذا كانت F دالة أصلية لـ f على interval I (أي F’ = f)، فإن التكامل المحدد من a إلى b هو: ∫_a^b f(x) dx = F(b) – F(a). يمثل هذا التكامل المساحة المحصورة بين منحنى الدالة f ومحور x والمستقيمين x = a و x = b.

2. الدوال الأصلية الأساسية

• ∫ x^n dx = x^{n+1}/(n+1) + C (n ≠ -1).
• ∫ 1/x dx = ln|x| + C.
• ∫ e^x dx = e^x + C.
• ∫ sin x dx = -cos x + C.
• ∫ cos x dx = sin x + C.
• ∫ 1/(1+x²) dx = arctan x + C.

3. طرق التكامل

التكامل بالتجزئة: ∫ u·v’ = u·v – ∫ u’·v.

التكامل بالتعويض: ∫ f(g(x))·g'(x) dx = ∫ f(u) du حيث u = g(x).

4. تطبيقات التكامل

حساب المساحات: مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين f و g من a إلى b هي: A = ∫_a^b |f(x) – g(x)| dx.

حساب الحجوم: حجم جسم دوران حول محور x: V = π ∫_a^b [f(x)]² dx.

5. مثال بكالوريا

بكالوريا 2022 (شعبة علوم تجريبية): احسب التكامل I = ∫_0^1 x·e^x dx.
الحل: نستخدم التكامل بالتجزئة. نضع u = x, v’ = e^x. إذن u’ = 1, v = e^x.
I = [x·e^x]_0^1 – ∫_0^1 e^x dx = (1·e – 0) – [e^x]_0^1 = e – (e – 1) = 1.
إذن ∫_0^1 x·e^x dx = 1.