الرياضيات — الأعداد المركبة: تمثيل وعمليات — الثالثة ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

الأعداد المركبة توسع لمجموعة الأعداد الحقيقية بحيث يصبح للمعادلة x² + 1 = 0 حل. تستخدم الأعداد المركبة في الفيزياء والهندسة الكهربائية.

1. تعريف العدد المركب

العدد المركب هو عدد على الشكل z = a + ib حيث a, b ∈ ℝ و i² = -1. يسمى a الجزء الحقيقي (Re(z)) و b الجزء التخيلي (Im(z)).

2. العمليات على الأعداد المركبة

الجمع: (a+ib) + (c+id) = (a+c) + i(b+d).

الضرب: (a+ib)(c+id) = (ac – bd) + i(ad + bc).

المرافق: مرافق z = a+ib هو z̄ = a-ib.

المعيار (المقياس): |z| = √(a²+b²).

مقلوب: 1/z = z̄/|z|².

3. التمثيل الهندسي

في المستوي المركب (المستوي العقدي)، يمثل العدد z = a+ib بالنقطة M(a, b). نسمي (O, u, v) معلم متعامد.

الوسيط (العمدة): θ = arg(z) حيث cos θ = a/|z| و sin θ = b/|z|.

الشكل المثلثي: z = |z|(cos θ + i sin θ).

صيغة أويلر: e^{iθ} = cos θ + i sin θ. إذن z = |z|·e^{iθ}.

4. صيغة موافر

(cos θ + i sin θ)^n = cos(nθ) + i sin(nθ).

5. مثال بكالوريا

بكالوريا 2021 (شعبة علوم تجريبية): حل في ℂ المعادلة z² – 2z + 5 = 0.
الحل: Δ = (-2)² – 4(1)(5) = 4 – 20 = -16 = (4i)².
z₁ = (2 + 4i)/2 = 1 + 2i, z₂ = (2 – 4i)/2 = 1 – 2i.
حلان مركبان مترافقان: 1+2i و 1-2i.