مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
الدوال اللوغاريتمية — تعريفها وخصائصها ودراستها — السنة الثالثة ثانوي (بكالوريا) — شعبة علوم تجريبية — الرياضيات — المنهاج الجزائري
الدوال اللوغاريتمية هي الدوال العكسية للدوال الأسية، ولها تطبيقات مهمة في مختلف فروع العلوم. هذا الدرس مخصص لتلاميذ السنة الثالثة ثانوي شعبة علوم تجريبية استعداداً لامتحان البكالوريا.
أولاً: الدالة اللوغاريتمية النيبيرية ln(x)
تُعرف الدالة اللوغاريتمية النيبيرية ln(x) بأنها الدالة العكسية للدالة الأسية. أي:
y = ln(x) ⇔ x = ey مع x > 0
مجموعة تعريفها: D = ]0, +∞[
ثانياً: خصائص الدالة اللوغاريتمية
خصائص جبرية:
- ln(1) = 0
- ln(e) = 1
- ln(a × b) = ln(a) + ln(b)
- ln(a / b) = ln(a) − ln(b)
- ln(ar) = r × ln(a)
خصائص التحليل:
- ln(ex) = x لكل x ∈ ℝ
- eln(x) = x لكل x > 0
ثالثاً: دراسة الدالة f(x) = ln(x)
مجموعة التعريف: D = ]0, +∞[
النهايات: limx→0⁺ ln(x) = −∞، limx→+∞ ln(x) = +∞
الاشتقاق: (ln(x))’ = 1/x
التغيرات: الدالة اللوغاريتمية تزايدية قطعاً على ]0, +∞[ (لأن مشتقتها 1/x > 0).
التمثيل البياني: يمر من النقطة (1,0)، والمستقيم x = 0 مقارب عمودي.
رابعاً: نهايات هامة
- limx→+∞ ln(x)/x = 0
- limx→0⁺ x × ln(x) = 0
- limx→0⁺ ln(1+x)/x = 1
خامساً: مثال بكالوريا
تمرين بكالوريا (دورة 2022 — شعبة علوم تجريبية): نعتبر الدالة f(x) = x − ln(x) معرفة على ]0, +∞[.
1. احسب limx→0⁺ f(x) و limx→+∞ f(x).
2. احسب المشتقة f'(x) وادرس إشارتها.
3. بين أن f(x) ≥ 1 لكل x > 0.
الحل:
1. limx→0⁺ f(x) = limx→0⁺ (x − ln(x)) = 0 − (−∞) = +∞
limx→+∞ f(x) = +∞ − (+∞) ⇒ شكل غير محدد
نكتب f(x) = x(1 − ln(x)/x)، وبما أن lim ln(x)/x = 0، إذن lim f(x) = +∞
2. f'(x) = 1 − 1/x = (x − 1)/x
إشارة f'(x) هي إشارة (x − 1) لأن x > 0:
إذا كان x < 1: f'(x) < 0 (الدالة تناقصية)
إذا كان x = 1: f'(x) = 0
إذا كان x > 1: f'(x) > 0 (الدالة تزايدية)
3. f(1) = 1 − ln(1) = 1 − 0 = 1 (قيمة صغرى)
إذن لكل x > 0: f(x) ≥ 1، أي x − ln(x) ≥ 1
خلاصة
الدوال اللوغاريتمية أداة رياضية أساسية في حل المعادلات الأسية وفي دراسة الظواهر الطبيعية. إتقان هذا الدرس مطلوب في امتحان البكالوريا لجميع الشعب العلمية.
دروس مشابهة
- الرياضيات — الجدول البسيط — السنة الخامسة ابتدائي
- كتاب اولمبياد الرياضيات — تحديث 2026
- الرياضيات — قياس الأطوال (التحويل بين وحدات الطول — المتر وأجزاؤه) — السنة الراب
