الرياضيات — حل معادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد بطريقة المميز (دلتا) مع تمارين محلولة — الأولى ثانوي — المنهاج الجزائري

الأهداف التعليمية

• التعرف على طريقة حل معادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد
• فهم مفهوم المميز (دلتا) واستخدامه
• إتقان كتابة مجموعة الحلول حسب إشارة المميز
• التطبيق على تمارين متنوعة بأسلوب البكالوريا

شرح الدرس

1. تعريف المعادلة من الدرجة الثانية

المعادلة من الدرجة الثانية هي معادلة تكتب على الشكل: ax² + bx + c = 0 حيث a و b و c أعداد حقيقية و a ≠ 0.

2. طريقة المميز (دلتا)

لحل المعادلة من الدرجة الثانية نستعمل المميز Δ (دلتا) المعرف بالعلاقة:

Δ = b² – 4ac

حسب إشارة Δ:

• إذا كان Δ > 0: للمعادلة حلان حقيقيان مختلفان:
  x₁ = (-b – √Δ) / (2a)
  x₂ = (-b + √Δ) / (2a)
• إذا كان Δ = 0: للمعادلة حل حقيقي واحد (مضاعف):
  x₀ = -b / (2a)
• إذا كان Δ < 0: لا يوجد حل حقيقي (الحلول في مجموعة الأعداد المركبة)

3. العلاقة بين المعاملات والحلول

إذا كان x₁ و x₂ حلين للمعادلة ax² + bx + c = 0 فإن:

• مجموع الحلين: S = x₁ + x₂ = -b/a
• جداء الحلين: P = x₁ × x₂ = c/a

أمثلة محلولة

المثال 1: حل المعادلة 2x² – 5x + 3 = 0

الحل:

a = 2, b = -5, c = 3

Δ = b² – 4ac = (-5)² – 4(2)(3) = 25 – 24 = 1

Δ > 0 → للمعادلة حلان حقيقيان مختلفان:

x₁ = (5 – √1) / (4) = (5 – 1) / 4 = 4/4 = 1

x₂ = (5 + √1) / (4) = (5 + 1) / 4 = 6/4 = 3/2

مجموعة الحلول: S = {1, 3/2}

المثال 2: حل المعادلة x² – 6x + 9 = 0

الحل:

a = 1, b = -6, c = 9

Δ = (-6)² – 4(1)(9) = 36 – 36 = 0

Δ = 0 → للمعادلة حل مضاعف:

x₀ = -(-6) / (2) = 6/2 = 3

مجموعة الحلول: S = {3}

المثال 3: حل المعادلة x² + x + 1 = 0

الحل:

a = 1, b = 1, c = 1

Δ = 1² – 4(1)(1) = 1 – 4 = -3

Δ < 0 → لا يوجد حل في مجموعة الأعداد الحقيقية.

تمارين وحلول

التمرين 1: حل المعادلات التالية

1. x² – 4x + 3 = 0

a = 1, b = -4, c = 3 → Δ = 16 – 12 = 4

x₁ = (4 – 2)/2 = 1, x₂ = (4 + 2)/2 = 3

S = {1, 3}

2. 3x² + 5x – 2 = 0

a = 3, b = 5, c = -2 → Δ = 25 – 4(3)(-2) = 25 + 24 = 49

x₁ = (-5 – 7)/6 = -12/6 = -2, x₂ = (-5 + 7)/6 = 2/6 = 1/3

S = {-2, 1/3}

3. 4x² – 12x + 9 = 0

a = 4, b = -12, c = 9 → Δ = 144 – 4(4)(9) = 144 – 144 = 0

x₀ = 12/8 = 3/2

S = {3/2}

التمرين 2: مسألة بكالوريا

أوجد عددين حقيقيين مجموعهما 7 وجداؤهما 12.

الحل: نرمز للعددين بـ a و b. لدينا: a + b = 7 و a × b = 12

هما حلا المعادلة: x² – Sx + P = 0 أي x² – 7x + 12 = 0

Δ = 49 – 48 = 1

x₁ = (7 – 1)/2 = 3, x₂ = (7 + 1)/2 = 4

إذن العددان هما 3 و 4.

دروس مشابهة

• جملة معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين — الرياضيات — الأولى ثانوي
• المتراجحات من الدرجة الثانية — الرياضيات — الأولى ثانوي