الرياضيات — المعادلات والمتراجحات التي تتضمن القيمة المطلقة: حل معادلات ومتراجحات القيمة المطلقة مع تمارين محلولة — الثانية ثانوي — المنهاج الجزائري

📘 الأهداف التعليمية

• تعريف القيمة المطلقة لعدد حقيقي
• فهم الخصائص الأساسية للقيمة المطلقة
• حل معادلات تتضمن قيمة مطلقة
• حل متراجحات تتضمن قيمة مطلقة
• تمثيل حلول معادلات ومتراجحات القيمة المطلقة على المستقيم العددي

📚 الشرح النظري

1. تعريف القيمة المطلقة

القيمة المطلقة لعدد حقيقي x تُكتب |x| وتُقرأ “القيمة المطلقة لـ x”.

|x| = x إذا كان x ≥ 0
|x| = -x إذا كان x < 0

مثال: |5| = 5، |-3| = 3، |0| = 0

هندسياً: |x – a| يمثل المسافة بين العدد x والعدد a على المستقيم العددي.

2. خصائص القيمة المطلقة

• |x| ≥ 0 لكل عدد حقيقي x (القيمة المطلقة دائماً غير سالبة)
• |x| = 0 ⇔ x = 0
• |x · y| = |x| · |y|
• |x / y| = |x| / |y| (بشرط y ≠ 0)
• |x + y| ≤ |x| + |y| (متباينة المثلث)
• |x| = |-x|
• |x²| = x² = |x|²

3. حل معادلات القيمة المطلقة

الصيغة الأساسية: |x – a| = b (حيث b ≥ 0)

|x – a| = b ⇔ x – a = b أو x – a = -b

إذن: x = a + b أو x = a – b

حالة خاصة: |x| = b (حيث b ≥ 0)

|x| = b ⇔ x = b أو x = -b

4. حل متراجحات القيمة المطلقة

الصيغة 1: |x – a| ≤ b (حيث b ≥ 0)

|x – a| ≤ b ⇔ -b ≤ x – a ≤ b ⇔ a – b ≤ x ≤ a + b

الاتحاد: [a – b, a + b]

الصيغة 2: |x – a| ≥ b (حيث b ≥ 0)

|x – a| ≥ b ⇔ x – a ≤ -b أو x – a ≥ b

⇔ x ≤ a – b أو x ≥ a + b

الاتحاد: ]-∞, a – b] ∪ [a + b, +∞[

📝 أمثلة محلولة

✅ المثال 1: حل معادلة

حل المعادلة: |x – 3| = 7

الحل:

|x – 3| = 7 ⇔ x – 3 = 7 أو x – 3 = -7

⇔ x = 10 أو x = -4

مجموعة الحلول: S = {-4, 10}

✅ المثال 2: حل متراجحة

حل المتراجحة: |x + 2| ≤ 5

الحل:

|x + 2| ≤ 5 ⇔ -5 ≤ x + 2 ≤ 5

⇔ -5 – 2 ≤ x ≤ 5 – 2

⇔ -7 ≤ x ≤ 3

مجموعة الحلول: S = [-7, 3]

✅ المثال 3: متراجحة من نوع |x – a| ≥ b

حل المتراجحة: |x – 1| ≥ 4

الحل:

|x – 1| ≥ 4 ⇔ x – 1 ≤ -4 أو x – 1 ≥ 4

⇔ x ≤ -3 أو x ≥ 5

مجموعة الحلول: S = ]-∞, -3] ∪ [5, +∞[

📌 تمارين وحلول

التمرين 1

حل المعادلات التالية:

أ. |2x – 1| = 9

الحل: |2x – 1| = 9 ⇔ 2x – 1 = 9 أو 2x – 1 = -9

⇔ 2x = 10 أو 2x = -8

⇔ x = 5 أو x = -4

S = {-4, 5}

ب. |x + 5| = 3

الحل: x + 5 = 3 أو x + 5 = -3

⇔ x = -2 أو x = -8

S = {-8, -2}

التمرين 2

حل المتراجحات التالية ومثلها على المستقيم العددي:

أ. |x – 2| < 6

الحل: -6 < x – 2 < 6 ⇔ -4 < x < 8

S = ]-4, 8[

ب. |x + 3| ≥ 2

الحل: x + 3 ≤ -2 أو x + 3 ≥ 2

⇔ x ≤ -5 أو x ≥ -1

S = ]-∞, -5] ∪ [-1, +∞[

🔗 دروس مشابهة

• الاحتمالات في الرياضيات: مفهوم الاحتمال والتجارب العشوائية
• الهندسة في الفضاء – المجسمات: المكعب، متوازي المستطيلات