الدوال الأسية (مقدمة): تعريف الدالة الأسية وخصائصها وتمثيلها البياني مع تمارين بكالوريا محلولة — الرياضيات — الثانية ثانوي — المنهاج الجزائري

الأهداف التعليمية

• أن يتعرف التلميذ على مفهوم الدالة الأسية وخصائصها.
• أن يمثل الدالة الأسية بيانياً.
• أن يحل المعادلات والمتراجحات الأسية البسيطة.

1. تعريف الدالة الأسية

الدالة الأسية للأساس a (حيث a > 0 و a ≠ 1) هي الدالة المعرفة على R كما يلي:\nf(x) = a^x\nحيث a هو الأساس و x هو الأس.

2. خصائص الدالة الأسية

أ) الحالة الأولى: a > 1 (دالة تزايدية)

• مجموعة التعريف: R (جميع الأعداد الحقيقية).
• مجموعة القيم: ]0, +∞[.
• الدالة تزايدية قطعاً (إذا كان x₁ < x₂ فإن a^x₁ < a^x₂).
• المنحنى يمر بالنقطة (0,1).
• المحور Ox (y=0) هو مقارب أفقي.

ب) الحالة الثانية: 0 < a < 1 (دالة تناقصية)

• مجموعة التعريف: R.
• مجموعة القيم: ]0, +∞[.
• الدالة تناقصية قطعاً (إذا كان x₁ < x₂ فإن a^x₁ > a^x₂).
• المنحنى يمر بالنقطة (0,1).
• المحور Ox هو مقارب أفقي.

3. قواعد الحساب على الدوال الأسية

a^m × a^n = a^(m+n)\na^m ÷ a^n = a^(m-n)\n(a^m)^n = a^(m×n)\n(a×b)^n = a^n × b^n\n(a÷b)^n = a^n ÷ b^n\na^0 = 1\na^(-n) = 1/a^n

4. المعادلات والمتراجحات الأسية

حل المعادلات:

a^x = a^y ⟺ x = y (لأن الدالة الأسية أحادية النمط)

حل المتراجحات:

إذا كان a > 1: a^x > a^y ⟺ x > y\nإذا كان 0 < a < 1: a^x > a^y ⟺ x < y

5. تمارين بكالوريا محلولة

التمرين 1:

حل المعادلات التالية:\n1) 2^x = 8\n2) 3^(x+1) = 27\n3) 5^(2x) = 25^(x-1)

الحل:\n1) 2^x = 8 = 2^3 ⟹ x = 3\n2) 3^(x+1) = 27 = 3^3 ⟹ x+1 = 3 ⟹ x = 2\n3) 5^(2x) = 25^(x-1) = (5^2)^(x-1) = 5^(2x-2) ⟹ 2x = 2x-2 ⟹ 0 = -2 (مستحيل) ⟹ لا يوجد حل

التمرين 2:

حل المتراجحات التالية:\n1) 2^x > 16 (علماً أن 2 > 1)\n2) (1/2)^x > 1/8

الحل:\n1) 2^x > 16 = 2^4 ⟹ x > 4 ⟹ S = ]4, +∞[\n2) (1/2)^x > 1/8 = (1/2)^3 ⟹ 0 < 1/2 < 1 إذن الدالة تناقصية ⟹ x < 3 ⟹ S = ]-∞, 3[

التمرين 3 (بكالوريا):

لتكن f(x) = 2^x – 4. أحسب f(0), f(2), f(-1) وحدد إشارة f(x).

الحل:\nf(0) = 2^0 – 4 = 1 – 4 = -3\nf(2) = 2^2 – 4 = 4 – 4 = 0\nf(-1) = 2^(-1) – 4 = 1/2 – 4 = -7/2\nf(x) = 0 ⟺ 2^x = 4 = 2^2 ⟺ x = 2\nبما أن 2 > 1 فالدالة تزايدية:\nf(x) < 0 على ]-∞, 2[\nf(x) > 0 على ]2, +∞[

دروس مشابهة

قد يهمك أيضاً:

• الدوال المرجعية: الدالة مربع والدالة جذر تربيعي والدالة مقلوب
• دراسة الدوال العددية: الرتابة والقيم القصوى والتمثيل البياني