موضوع امتحان بكالوريا 2018 في الرياضيات مع الحل – شعبة علوم تجريبية

التمرين الأول: (4 نقاط) — الأعداد العقدية

نعتبر في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد ومتجانس (O, u, v) النقط A و B و C ذات الألحاق:

z_A = 1+2i , z_B = -2+3i , z_C = -2-i

1. أكتب الأعداد العقدية التالية على شكل جبري:

   أ) z₁ = z_A × z_B

   ب) z₂ = z_A / z_B

2. احسب معيار كل من z_A و z_B و z_C.
3. عيّن طبيعة المثلث ABC مع التعليل.
4. أوجد اللحق z_D للنقطة D حيث الرباعي ABCD متوازي أضلاع.
5. أكتب العدد العقدي (z_A – z_B) / (z_C – z_B) على شكل مثلثي ثم استنتج طبيعة المثلث ABC.

التمرين الثاني: (5 نقاط) — الاحتمالات والمتغيرات العشوائية

يحتوي صندوق على 10 كرات: 4 كرات بيضاء و 6 كرات سوداء. نسحب عشوائيا 3 كرات في آن واحد.

1. احسب احتمال الحصول على:

   أ) 3 كرات سوداء.

   ب) كرتين بيضاوين على الأقل.

   ج) كرة سوداء واحدة على الأكثر.

2. نكرر التجربة السابقة 5 مرات مع الإرجاع. ليكن X المتغير العشوائي الذي يمثل عدد المرات التي نحصل فيها على 3 كرات سوداء خلال السحبات الخمس.

   أ) ما قانون احتمال X؟

   ب) احسب الاحتمال P(X=2).

   ج) احسب الأمل الرياضي E(X) والتباين V(X).

التمرين الثالث: (6 نقاط) — الدوال العددية

نعتبر الدالة f المعرفة على ℝ بـ: f(x) = x³ – 3x² + 2

1. احسب نهايات الدالة f عند ±∞.
2. احسب f'(x) وادرس إشارتها ثم شكل جدول تغيرات الدالة f.
3. بيّن أن المعادلة f(x) = 0 تقبل ثلاثة حلول حقيقية α و β و γ حيث α < β < γ.
4. عين قيمة α و β و γ بالتقريب إلى 10⁻².
5. أوجد معادلة المماس للمنحنى (C_f) عند النقطة ذات الفاصلة x₀ = 0.
6. أنشئ التمثيل البياني للدالة f.

التمرين الرابع: (5 نقاط) — التكامل وحساب المساحات

نعتبر الدالة g المعرفة على [1, +∞[ بـ: g(x) = 1/x²

1. احسب التكامل ∫₁² g(x) dx.
2. احسب مساحة الحيز المحصور بين منحنى الدالة g ومحور الفواصل والمستقيمين x=1 و x=2.
3. نعتبر الدالة h(x) = 1/x² × ln(x). احسب تكامل ∫₁² h(x) dx باستعمال التكامل بالتجزئة.
4. استنتج قيمة التكامل ∫₁² (ln(x) – 1)/x² dx.

التمرين الأول: الأعداد العقدية

1. الحسابات:

   أ) z₁ = (1+2i)(-2+3i) = -2+3i-4i+6i² = -2-i-6 = -8-i

   ب) z₂ = (1+2i)/(-2+3i) = (1+2i)(-2-3i)/((-2+3i)(-2-3i)) = (-2-3i-4i-6i²)/(4+9) = (-2-7i+6)/13 = (4-7i)/13 = 4/13 – (7/13)i

2. المعايير:

   |z_A| = √(1²+2²) = √5

   |z_B| = √((-2)²+3²) = √13

   |z_C| = √((-2)²+(-1)²) = √5

3. طبيعة المثلث:

   |z_A| = |z_C| = √5، إذن OA = OC. و |z_B| = √13.

   AB² = |z_A-z_B|² = |3-i|² = 9+1 = 10

   BC² = |z_B-z_C|² = |4i|² = 16

   AC² = |z_A-z_C|² = |3+3i|² = 9+9 = 18

   المثلث ABC قائم في A لأن AB² + AC² = 10+18 = 28 ≠ BC² = 16

   نلاحظ AC² = AB² + BC²? 18 = 10+8? لا. 16 = 10+6? لا.

   دعنا نعيد الحساب: AB² = 10, BC² = 16, AC² = 18

   بما أن BC² ≠ AB² + AC² و AC² ≠ AB² + BC²، المثلث ليس قائما.

   ولكن |z_A| = |z_C|، إذن المثلث متساوي الساقين في O مع OA = OC.

4. لحق D:

   ABCD متوازي أضلاع ⇒ z_A + z_C = z_B + z_D

   z_D = z_A + z_C – z_B = (1+2i) + (-2-i) – (-2+3i) = 1+2i-2-i+2-3i = 1-2i

5. الشكل المثلثي:

   z_A – z_B = 3-i, z_C – z_B = -4i

   (z_A-z_B)/(z_C-z_B) = (3-i)/(-4i) = (3-i)i/4 = (3i+1)/4 = 1/4 + (3/4)i

   المعيار = √((1/4)²+(3/4)²) = √(1/16+9/16) = √(10/16) = √10/4

   الوسيطة: cosθ = (1/4)/(√10/4) = 1/√10, sinθ = (3/4)/(√10/4) = 3/√10

   θ = arctan(3) ≈ 71.56°

التمرين الثاني: الاحتمالات

1. الاحتمالات:

   عدد السحبات الممكنة: C¹⁰₃ = 120

   أ) P(3 كرات سوداء) = C⁶₃ / C¹⁰₃ = 20/120 = 1/6

   ب) P(كرتين بيضاوين على الأقل) = [C⁴₂×C⁶₁ + C⁴₃×C⁶₀] / C¹⁰₃ = [6×6 + 4] / 120 = 40/120 = 1/3

   ج) P(كرة سوداء واحدة على الأكثر) = P(0 سوداء) + P(1 سوداء) = [C⁴₃ + C⁴₂×C⁶₁] / 120 = [4 + 36] / 120 = 40/120 = 1/3

2. القانون الاحتمالي:

   أ) X يتبع قانوناً ذا حدين: X ~ B(5, 1/6)

   ب) P(X=2) = C⁵₂ × (1/6)² × (5/6)³ = 10 × 1/36 × 125/216 = 1250/7776 = 0.1608

   ج) E(X) = np = 5 × 1/6 = 5/6

   V(X) = np(1-p) = 5 × 1/6 × 5/6 = 25/36

التمرين الثالث: الدوال العددية

1. النهايات:

   lim_{x→-∞} f(x) = lim x³ = -∞

   lim_{x→+∞} f(x) = lim x³ = +∞

2. الاشتقاق وجدول التغيرات:

   f'(x) = 3x² – 6x = 3x(x-2)

   إشارة f'(x):

   — موجبة على ]-∞, 0[ (f متزايدة)

   — سالبة على ]0, 2[ (f متناقصة)

   — موجبة على ]2, +∞[ (f متزايدة)

   f(0) = 2 (قيمة قصوى محلية)

   f(2) = 8-12+2 = -2 (قيمة دنيا محلية)

3. الحلول:

   بما أن f متصلة ورتيبة على ثلاثة مجالات، وبما أن:

   — على ]-∞, 0[: f(-1)=-2, f(0)=2 → يوجد α ∈ ]-1, 0[ حيث f(α)=0

   — على ]0, 2[: f(0)=2, f(2)=-2 → يوجد β ∈ ]0, 2[ حيث f(β)=0

   — على ]2, +∞[: f(2)=-2, f(3)=2 → يوجد γ ∈ ]2, 3[ حيث f(γ)=0

4. التقريب:

   α ≈ -0.73 (بعد التحليل: f(-0.73) ≈ -0.389+1.599-1.73+2 ≈ 0.0)

   β ≈ 1.0 (f(1)=1-3+2=0)

   γ ≈ 2.73 (بعد التحليل: f(2.73) ≈ 20.35-22.36+2≈ 0.0)

5. المماس:

   f'(0) = 0, f(0) = 2

   المعادلة: y = f'(0)(x-0) + f(0) = 0·x + 2 = y = 2

   المماس أفقي.

6. التمثيل البياني:

   نقاط المرجع: (-1,-2), (0,2), (1,0), (2,-2), (3,2). المنحنى يتقاطع مع محور الفواصل عند α≈-0.73, β=1, γ≈2.73.

التمرين الرابع: التكامل

1. التكامل:

   ∫₁² 1/x² dx = [-1/x]₁² = (-1/2) – (-1/1) = -1/2 + 1 = 1/2

2. المساحة:

   A = ∫₁² g(x) dx = 1/2 وحدة مساحة

3. التكامل بالتجزئة:

   نضع u = ln(x) ⇒ u’ = 1/x و v’ = 1/x² ⇒ v = -1/x

   ∫₁² ln(x)/x² dx = [-ln(x)/x]₁² + ∫₁² 1/x² dx

   = (-ln(2)/2 + ln(1)/1) + 1/2 = -ln(2)/2 + 0 + 1/2

   = ½ – ½ ln(2)

4. الاستنتاج:

   ∫₁² (ln(x)-1)/x² dx = ∫₁² ln(x)/x² dx – ∫₁² 1/x² dx

   = (½ – ½ ln(2)) – ½ = -½ ln(2)

📌

روابط مفيدة:
بكالوريا رياضيات •
بكالوريا علوم تجريبية •
بكالوريا 2018