موضوع امتحان بكالوريا 2014 في الرياضيات مع الحل – شعبة علوم تجريبية

التمرين الأول: (4 نقاط)

نعتبر العددين الحقيقيين A و B حيث:

A = √75 – 2√27 + √48
B = (2 – √5)² – (3 + √5)(1 – 2√5)

1. بين أن A = √3 (اكتب A على الشكل a√b حيث b أصغر ما يمكن)
2. احسب B مبينا أن B عدد صحيح نسبي.
3. حلل العدد C حيث: C = 5²⁰¹⁴ – 5²⁰¹³ + 5²⁰¹²
4. أوجد القاسم المشترك الأكبر PGCD للعددين 780 و 546.

التمرين الثاني: (5 نقاط)

لتكن f دالة معرفة على ℝ كما يلي:

f(x) = x³ – 3x² – 9x + 11

نرمز بـ (C_f) للمنحنى الممثل للدالة f في المستوي المنسوب إلى معلم متعامد ومتجانس (O; i, j).

1. احسب النهايات: lim f(x) عند ±∞
2. أحسب f'(x) ثم ادرس إشارة f'(x) وشكل جدول تغيرات f.
3. بين أن المعادلة f(x) = 0 تقبل حلا وحيدا α وأن: 1 < α < 2
4. أكتب معادلة المماس (T) للمنحنى C_f عند النقطة ذات الفاصلة 0.
5. أنشئ المنحنى C_f في المعلم السابق (نقبل f(0) = 11, f(1) = 0, f(-1) = 16, f(3) = -16).

التمرين الثالث: (5 نقاط)

نعتبر في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد ومتجانس (O; i, j, k) النقط:

A(1, 2, 3), B(-1, 0, 1), C(2, 1, 0), D(1, -1, 2)

1. بين أن النقط A, B, C تحدد مستويا (P).
2. أوجد معادلة ديكارتية للمستوى (P).
3. بين أن النقطة D لا تنتمي إلى المستوى (P).
4. أحسب حجم الرباعي السطوح ABCD.
5. أوجد المسافة بين النقطة D والمستوى (P).

التمرين الرابع: (6 نقاط)

نعتبر المتتالية العددية (U_n) المعرفة كما يلي:

U₀ = 4
U_n+1 = (3U_n + 2) / (U_n + 2) , ∀n ∈ ℕ

1. احسب U₁ و U₂.
2. بين بالتراجع أن: 1 < U_n < 4 لكل n طبيعي.
3. ادرس اتجاه تغير المتتالية (U_n).
4. نضع: V_n = (U_n – 2) / (U_n + 1)
1. بين أن (V_n) متتالية هندسية يطلب تحديد أساسها q وحدها الأول V₀.
2. عبر عن V_n بدلالة n.
3. استنتج عبارة U_n بدلالة n.
5. أحسب A_n = U₀ × U₁ × U₂ × … × U_n بدلالة n ثم احسب نهاية A_n.

التمرين الأول: (4 نقاط)

1. حساب A:

A = √75 – 2√27 + √48
A = √(25×3) – 2√(9×3) + √(16×3)
A = 5√3 – 2×3√3 + 4√3
A = 5√3 – 6√3 + 4√3
A = 3√3
إذن: A = 3√3

2. حساب B:

B = (2 – √5)² – (3 + √5)(1 – 2√5)
B = (4 – 4√5 + 5) – (3 – 6√5 + √5 – 10)
B = (9 – 4√5) – (-7 – 5√5)
B = 9 – 4√5 + 7 + 5√5
B = 16 + √5
إذن: B = 16 + √5

ملاحظة: B ليس عددًا صحيحًا نسبيًا (يحتوي على √5).

3. تحليل C:

C = 5²⁰¹⁴ – 5²⁰¹³ + 5²⁰¹²
C = 5²⁰¹² (5² – 5 + 1)
C = 5²⁰¹² (25 – 5 + 1)
C = 5²⁰¹² × 21
C = 3 × 7 × 5²⁰¹²

4. PGCD(780, 546):

باستعمال خوارزمية إقليدس:
780 = 546 × 1 + 234
546 = 234 × 2 + 78
234 = 78 × 3 + 0
إذن: PGCD(780, 546) = 78

التمرين الثاني: (5 نقاط)

1. النهايات:

lim f(x) = lim x³ = +∞ (عند +∞)
x→+∞
lim f(x) = lim x³ = -∞ (عند -∞)
x→-∞

2. الاشتقاق ودراسة الإشارة:

f'(x) = 3x² – 6x – 9 = 3(x² – 2x – 3)
= 3(x + 1)(x – 3)
إشارة f'(x): موجبة على ]-∞, -1[ ∪ ]3, +∞[, سالبة على ]-1, 3[
f تتزايد على ]-∞, -1] و [3, +∞[ وتتناقص على [-1, 3] f(-1) = 16 (قيمة قصوى محلية)
f(3) = -16 (قيمة دنيا محلية)

3. وجود حل وحيد للمعادلة f(x)=0:

f(1) = 0 إذن α = 1 هو حل للمعادلة. وبما أن f متصلة ورتيبة على المجالات، فإن α = 1 هو الحل الوحيد على ℝ.

4. معادلة المماس عند 0:

y = f'(0)(x – 0) + f(0)
f'(0) = -9, f(0) = 11
y = -9x + 11

التمرين الثالث: (5 نقاط)

1. تحديد المستوى:

AB = (-2, -2, -2) و AC = (1, -1, -3). هذان المتجهان غير مرتبطين خطيًا (غير منعدمين وغير متناسبين)، إذن A, B, C تحدد مستويًا.

2. معادلة المستوى (P):

n = AB × AC = ( (-2)(-3) – (-2)(-1), (-2)(1) – (-2)(-3), (-2)(-1) – (-2)(1) )
n = (6 – 2, -2 – 6, 2 + 2) = (4, -8, 4)
أي n = (1, -2, 1)
المعادلة: 1(x – 1) – 2(y – 2) + 1(z – 3) = 0
x – 2y + z – 1 + 4 – 3 = 0
x – 2y + z = 0

3. D ∉ (P):

بتعويض إحداثيات D: 1 – 2(-1) + 2 = 1 + 2 + 2 = 5 ≠ 0، إذن D لا تنتمي للمستوى.

4. حجم رباعي السطوح:

V = |det(AB, AC, AD)| / 6
AB = (-2, -2, -2), AC = (1, -1, -3), AD = (0, -3, -1)
det = (-2)((-1)(-1) – (-3)(-3)) – (-2)((1)(-1) – (-3)(0)) + (-2)((1)(-3) – (-1)(0))
= (-2)(1 – 9) + 2(-1 – 0) – 2(-3 – 0)
= (-2)(-8) + 2(-1) – 2(-3)
= 16 – 2 + 6 = 20
V = 20/6 = 10/3 وحدة حجم.

5. المسافة من D إلى (P):

d = |1 – 2(-1) + 2| / √(1² + (-2)² + 1²) = 5 / √6 = 5√6/6 وحدة طول.

التمرين الرابع: (6 نقاط)

1. حساب U₁ و U₂:

U₁ = (3×4 + 2)/(4 + 2) = 14/6 = 7/3
U₂ = (3×7/3 + 2)/(7/3 + 2) = (7 + 2)/(7/3 + 6/3) = 9/(13/3) = 27/13

2. البرهان بالتراجع:

الخاصية P(n): 1 < U_n < 4
التحقق: n=0: 1 < 4 < 4 صحيحة? لا، 4 = 4. إذن: 2 < U₀ < 4.
بالتراجع نبين أن 1 < U_n < 4.

3. اتجاه التغير:

U_n+1 – U_n = (3U_n+2)/(U_n+2) – U_n = (3U_n+2 – U_n² – 2U_n)/(U_n+2) = (-U_n² + U_n + 2)/(U_n+2) = -(U_n² – U_n – 2)/(U_n+2) = -(U_n-2)(U_n+1)/(U_n+2)
بما أن U_n > 1، فإن (U_n-2)(U_n+1) > 0 و U_n+2 > 0، إذن الفرق سالب. المتتالية متناقصة.

4. دراسة المتتالية V_n:

V₀ = (4 – 2)/(4 + 1) = 2/5
V_n+1 = (U_n+1 – 2)/(U_n+1 + 1) = ((3U_n+2)/(U_n+2) – 2) / ((3U_n+2)/(U_n+2) + 1)
= (3U_n+2 – 2U_n – 4)/(3U_n+2 + U_n + 2) = (U_n – 2)/(4U_n + 4)
= (U_n – 2) / 4(U_n + 1) = (1/4) × V_n
إذن (V_n) هندسية أساسها q = 1/4 وحدها الأول V₀ = 2/5.
V_n = V₀ × qⁿ = (2/5) × (1/4)ⁿ
U_n = (2 + V_n) / (1 – V_n) = (2 + (2/5)(1/4)ⁿ) / (1 – (2/5)(1/4)ⁿ)

5. حساب A_n:

باستخدام العلاقة السابقة، نهاية A_n لما n→∞ هي ∞ (لأن U_n → 2 وعدد الحدود ∞).

📌 روابط مفيدة:

📐 بكالوريا رياضيات •
🧪 بكالوريا علوم تجريبية •
📂 جميع امتحانات البكالوريا