موضوع امتحان بكالوريا 2022 في العلوم الفيزيائية مع الحل – شعبة تقني رياضي

يتابع طالب تقني رياضي في حصة النشاط العلمي ظاهرة النشاط الإشعاعي لعينة من البولونيوم \(_{84}^{210}Po\) الذي يتحول إلى عنصر الرصاص \(_{82}^{206}Pb\) عبر سلسلة من التحولات النووية.

1.1. ما المقصود بالنشاط الإشعاعي؟ (1 ن)

1.2. أكتب معادلة التحول النووي الذي يتحول فيه البولونيوم \(_{84}^{210}Po\) إلى الرصاص \(_{82}^{206}Pb\) محددا طبيعة هذا التحول والنواة المنبعثة. (2 ن)

1.3. احسب الطاقة المحررة من هذا التحول النووي باستخدام العلاقة \(E = \Delta m \cdot c^2\)، علماً أن:

\(m(Po) = 209.9828 u\)، \(m(Pb) = 205.9744 u\)، \(m(\alpha) = 4.0026 u\)، \(1u = 931.5 MeV/c^2\) (1.5 ن)

1.4. إذا كان عمر النصف للبولونيوم 210 هو \(T_{1/2} = 138 \, \text{يوم}\)، احسب ثابت النشاط الإشعاعي \(\lambda\). ثم حدد الزمن اللازم لتفكك 75% من العينة الابتدائية. (1.5 ن)

ندرس حركة قذيفة كتلتها \(m = 100g\) قذفت من سطح الأرض بسرعة ابتدائية \(v_0 = 40 m/s\) وبزاوية \(\alpha = 30^\circ\) مع الأفقي. نهمل تأثير الاحتكاك مع الهواء. نأخذ \(g = 10 N/kg\).

2.1. بتطبيق القانون الثاني لنيوتن، أوجد المعادلات التفاضلية للحركة. (1.5 ن)

2.2. استنتج المعادلتين الزمنيتين \(x(t)\) و \(y(t)\) للحركة. (1.5 ن)

2.3. أحسب زمن التحليق (الزمن المستغرق بين لحظة القذف ولحظة السقوط على نفس المستوى الأفقي). (1.5 ن)

2.4. أوجد أقصى ارتفاع تبلغه القذيفة، والمدى الأفقي للحركة. (1.5 ن)

2.5. مثل بيانياً مسار الحركة (بشكل كيفي). (1 ن)

نشكل دارة كهربائية تتكون من مولد مثالي قوته المحركة الكهربائية \(E = 24V\)، ومكثف سعته \(C = 100\mu F\)، وناقل أومي مقاومته \(R = 200\Omega\)، وقاطع التيار \(K\).

3.1. في اللحظة \(t=0\) نغلق القاطع \(K\). أكتب المعادلة التفاضلية التي تحققها التوترية \(u_c(t)\) بين طرفي المكثف خلال عملية الشحن. (1.5 ن)

3.2. حل المعادلة التفاضلية، واستنتج عبارة \(u_c(t)\) بدلالة \(E, R, C\). (2 ن)

3.3. أحسب قيمة ثابت الزمن \(\tau\) للدارة. ماذا تمثل هذه القيمة؟ (1.5 ن)

3.4. أحسب قيمة \(u_c\) بعد مدة \(t = 2\tau\) من بداية الشحن. (1 ن)

3.5. ما مقدار الطاقة المخزنة في المكثف عندما يشحن بالكامل؟ (1 ن)

1.1. النشاط الإشعاعي (1 ن):

النشاط الإشعاعي هو ظاهرة طبيعية تتحول فيها نواة ذرة غير مستقرة تلقائياً إلى نواة أخرى أكثر استقراراً مع انبعاث جسيمات وطاقة.

1.2. معادلة التحول النووي (2 ن):

\(_{84}^{210}Po \rightarrow _{82}^{206}Pb + _{2}^{4}\alpha\)

هذا تحول إشعاعي من نوع α (ألفا). النواة المنبعثة هي نواة الهيليوم \(_{2}^{4}He\) (جسيم ألفا). (1 ن للمعادلة، 1 ن للتعريف)

1.3. حساب الطاقة المحررة (1.5 ن):

\(\Delta m = m(Po) – [m(Pb) + m(\alpha)] = 209.9828 – (205.9744 + 4.0026) = 209.9828 – 209.9770 = 0.0058 u\) (0.75 ن)

\(E = \Delta m \times 931.5 = 0.0058 \times 931.5 = 5.4027 MeV\) (0.75 ن)

1.4. ثابت النشاط وعمر النصف (1.5 ن):

\(\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0.693}{138} = 5.02 \times 10^{-3} \, \text{يوم}^{-1}\) (0.5 ن)

عند تفكك 75% من العينة، يتبقى 25% أي \(N = N_0/4\).

\(N = N_0 e^{-\lambda t} \Rightarrow \frac{1}{4} = e^{-\lambda t} \Rightarrow t = \frac{\ln 4}{\lambda} = \frac{1.386}{5.02 \times 10^{-3}} = 276 \, \text{يوم}\) (1 ن)

2.1. القانون الثاني لنيوتن والمعادلات التفاضلية (1.5 ن):

\(\sum \vec{F} = m\vec{a} \Rightarrow \vec{P} = m\vec{g} = m\vec{a} \Rightarrow \vec{a} = \vec{g}\)

\(\begin{cases} a_x = 0 \\ a_y = -g \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac{dv_x}{dt} = 0 \\ \frac{dv_y}{dt} = -g \end{cases}\)

2.2. المعادلتان الزمنيتان (1.5 ن):

\(\begin{cases} x(t) = (v_0 \cos \alpha)t \\ y(t) = (v_0 \sin \alpha)t – \frac{1}{2}gt^2 \end{cases}\)

2.3. زمن التحليق (1.5 ن):

\(y(t) = 0 \Rightarrow (v_0 \sin \alpha)t – \frac{1}{2}gt^2 = 0 \Rightarrow t(v_0\sin\alpha – \frac{1}{2}gt) = 0\)

\(t = 0\) (لحظة القذف) أو \(t_T = \frac{2v_0\sin\alpha}{g} = \frac{2 \times 40 \times 0.5}{10} = 4s\) (1.5 ن)

2.4. أقصى ارتفاع والمدى الأفقي (1.5 ن):

أقصى ارتفاع: عند \(t = t_T/2 = 2s\)

\(y_{max} = (40 \times 0.5 \times 2) – \frac{1}{2} \times 10 \times 4 = 40 – 20 = 20 m\) (0.75 ن)

المدى الأفقي: \(x_{max} = (v_0\cos\alpha) \times t_T = 40 \times \cos 30^\circ \times 4 = 40 \times 0.866 \times 4 = 138.56 m\) (0.75 ن)

2.5. التمثيل البياني (1 ن):

مسار القذيفة هو قطع مكافئ (شلجم) يبدأ من نقطة الأصل (0,0) ويلامس أقصى ارتفاع عند \(x = x_{max}/2 = 69.28 m\)، \(y = 20 m\)، ثم يهبط إلى الأرض عند \(x = 138.56 m\).

3.1. المعادلة التفاضلية (1.5 ن):

\(E = R i(t) + u_c(t)\) مع \(i(t) = C\frac{du_c}{dt}\)

\(E = RC\frac{du_c}{dt} + u_c \Rightarrow \frac{du_c}{dt} + \frac{1}{RC}u_c = \frac{E}{RC}\)

3.2. حل المعادلة التفاضلية (2 ن):

الحل العام: \(u_c(t) = A e^{-t/RC} + E\) حيث \(A\) ثابت يحدد من الشرط البدائي \(u_c(0) = 0\).

\(0 = A + E \Rightarrow A = -E\)

\(u_c(t) = E(1 – e^{-t/RC})\) (2 ن)

3.3. ثابت الزمن (1.5 ن):

\(\tau = RC = 200 \times 100 \times 10^{-6} = 0.02 s = 20 ms\)

ثابت الزمن يمثل الزمن اللازم لشحن المكثف بنسبة 63% من قيمته العظمى.

3.4. قيمة u_c بعد 2τ (1 ن):

\(u_c(2\tau) = E(1 – e^{-2\tau/\tau}) = E(1 – e^{-2}) = 24 \times (1 – 0.135) = 24 \times 0.865 = 20.76 V\)

3.5. الطاقة المخزنة (1 ن):

\(E_c = \frac{1}{2} C u_c^2 = \frac{1}{2} \times 100 \times 10^{-6} \times 24^2 = 0.5 \times 10^{-4} \times 576 = 0.0288 J\)

\(E_c = 2.88 \times 10^{-2} J\)

📌 روابط مفيدة:

⚡ مواضيع بكالوريا فيزياء أخرى •
🔧 مواضيع بكالوريا تقني رياضي •
📅 بكالوريا 2022 جميع المواد